Polynomes..!!

[mostdu95]

bonjour
soient P et Q deux polynomes de degres resp n et m , soit f l'application
[X]*[X] ->[X]
pour tout (A, B) dans [X]*[X],f(A,P)=AP+BQ
Montrer que f est lineaire ( ça c'est fait ..)
et que f est bijective si et seulement si les polynomes P et Q SONT PREMIERS ENTRE EUX
et c'est equivalence que j'arrive pas à montrer en effet si je pose f bij il faudra que j'arrive à f( A,P)= 1 mais je ne sais pas comment le montrer
vous aurriez des ideés s'il vous plait
et merci d'avance

[Nuwanda]

si f est bijective tu trouves A et B tels que AP+BQ=1 par surjectivité, et du coup PGCD(P,Q) divise 1, donc c'est 1 et c'est bon.

Dans l'autre sens si on a AP+BQ=0, et P^Q=1, P divise BQ donc B, de même Q divise A. Si nm.
Si n=m, même chose vu que le degré de A est strictement inférieur à n...

[mostdu95]

si f est bijective tu trouves A et B tels que AP+BQ=1 par surjectivité, et du coup PGCD(P,Q) divise 1, donc c'est 1 et c'est bon.

Dans l'autre sens si on a AP+BQ=0, et P^Q=1, P divise BQ donc B, de même Q divise A. Si nm.
Si n=m, même chose vu que le degré de A est strictement inférieur à n...

merci d'abord pour votre reponse mais je n'ai pas trés bien compris :tt d'abord si f est bijective votre resonnement n'est pas evident pour moi car la surjectivité ne nous dpnne pas forcément le 1(menfinnnn c po evident...
ds l'autre sens on a AB+PQ=1 et pas =0 et donc dans les trois cas on aura f(A,P)=0 et c'est ça qui nous donne la bijectivité ??

[ffpower]

Quelle est la définition de surjectif?

[mostdu95]

Quelle est la définition de surjectif?

f surjective => tt element de l'ens d'arrivee a au moins un antecedant par f

[ffpower]

Bon et si tu prend 1 comme element de l ensemble d arrivee ca donne quoi?

[mostdu95]

oui oui je viens de m'en rendre compte
merci
je suis bete..!!!!!!!!!!!!

[mostdu95]

a l'occasion vous etes d'accord pour l'autre sens ??
et pour quoi si net au depart c po plutot AB+PQ=1??

[mostdu95]

a l'occasion vous etes d'accord pour l'autre sens ??
et pour quoi si net au depart c po plutot AB+PQ=1??