Voulez-vous acheter un lecteur mp3 ? oui, mais quand ...

[chechki-E]

Bonjour à tous !

Voilà une amie qui est en troisième année de high school ( l'équivalent de la terminale ) et elle a un problème mais je n'arrive pas à l'aider.
Je suis en deuxième année de classe prépa T_T

Voici l'énoncé :
Soit A un lecteur mp3 dont le prix de lancement est de 240 €
Soit B un lecteur mp3 dont le prix de lancement est de 160 €

Tous les 3 mois le lecteur mp3 A voit son prix baisser de 10% et le lecteur mp3 B de 5%. Ils sont lancé en même temps.

On veut acheter le lecteur mp3 A quand la différence de prix entre les deux lecteurs mp3 est inférieur à 20% du prix initial du lecteur B. Quand va-ton faire l'achat ?

Voici ma démarche :

Soit p(A,n) le prix du lecteur mp3 A au bout de n*3mois, de même pour p(B,n).
Soit p(A,0) et p(B,0) les prix initiaux.

p(A,1)=(1-0,1)*p(A,0) d'où p(A,n)=(1-0,1)^n*p(A,0)
et pour p(B,n)=(1-0,05)^n*p(B,0)

la condition se transforme comme suit :
p(A,n)-p(B,n)=0,2*p(B,0) <> (1-0,1)^n*p(A,0) - (1-0,05)^n*p(B,0) = 0,2*p(B,0)

Mon problème c'est que je dois isoler n....

Avez-vous une autre idée ?

[Patastronch]

Passage au logarithme !

Pour rappel : ln(a^b * c) =b*ln(a)+ln(c)

[chechki-E]

j'y avais pensé :

(1-0,1)^n*p(A,0) - (1-0,05)^n*p(B,0) = 0,2*p(B,0)
<> e^(n*ln(0,9))*p(A,0) - e^(n*ln(0,95))*p(B,0) = 0,2*p(B,0)

Bon, et comment j'isole n ?

[Patastronch]

Ah oui j'ai parlé trop vite en effet.

[rene38]

Bonsoir

la condition se transforme comme suit :
p(A,n)-p(B,n)=0,2*p(B,0) (1-0,1)^n*p(A,0) - (1-0,05)^n*p(B,0) = 0,2*p(B,0)

ou plutôt (1-0,1)^n*p(A,0) - (1-0,05)^n*p(B,0) < 0,2*p(B,0)

ce qui, compte tenu des valeurs connues, peut s'écrire :
240×0,9^n-160*0.95^n-0,2*160 < 0 et en simplifiant par 80
3×0,9^n-2×0.95^n-0,4 < 0
On est alors amené à résoudre f(n) <0 avec f(n) = 3×0,9^n-2×0.95^n-0,4
Un petit coup de tableur et c'est réglé.

[Chrisman]

Il s'agit d'une suite géométrique non?
PAn = 240 x 0.9^n
PBn = 160 x 0.95^n

Les 20% du prix initial de B est 160 * 20 /100 -> 32€

Donc on veut que la différence entre le prix A et le prix B soit inférieure à 32€
et par calcul on trouve que si n = 4 alors PA4 - PB4 < 32
Donc au bout de 12 mois on pourra acheter le mp3 A