Valeurs propores

[Chuck Nurris]

bonsoir. je viens d'apprendre la notion de valeurs propres. pour calculer les valeurs propres d'une matrice, il faut calculer le determinant de A-XI et ensuite charcher les racines...seulement pour une matrice de 3*3, par exemple, je trouve toujours un probleme lors du calcule de ce determinant :
- lorsque je le calcule directement, les racines sont souvent implicites.
- lorsque je cherche a echeloner, je trouve egalement un probleme quand j'essaye de faire apparaitre un 1 dans la premiere case. car lorsque je multiplie la rangée par 1/X, les autres coefficients seront des fractions en X, ce qui rend la suite de l'echelonement pas du tout evidente.
- lorsque j'utilise la difinition, je ne trouve pas toujours toutes les valeurs...de plus, c'est vraiment long.

existe-t-il d'autres methodes?

merci d'avance

[Joker62]

C'est vrai que c'est long mais bon, c'est les déterminant on y peut rien :)
Pour une matrice 3*3 c'est encore assez simpliste.
Sinon, on fait des opérations sur les colonnes, on essai de sortir des facteurs (X-a) du déterminant, et on continue...

N'oublie pas qu'une méthode de vérification assez basique : le terme constant du polynôme doit être égale à (-1)^n * det(A) où n est la dimension de la matrice

Et le coefficient de X^(n-1) vaut -Tr(A).
C'est une façon comme une autre de vérifier

[leon1789]

C'est vrai que c'est long mais bon,...

> hein ? :ptdr:

Un polynôme de degré > 2 peut se factoriser en théorie, mais en pratique, c'est très compliqué, voire infaisable à la main si les facteurs irréductibles ne sont pas évidents ou donnés avec des renseignements supplémentaires (multiplicité, etc.)
Donc, comme le dit Jocker, il faut essayer de factoriser le déterminant de A-XI pendant son calcul, mais là aussi, ce n'est pas évident !