Suite convergente

[Emaly]

Bonjour,

voilà mon exercice:

soit b un réel strictement positif et f une application de [0,b] dans R de classe C1 sur [0,b]. Pour tout entier naturel n, on pose:

In=intégrale de 0 à b de (f(x) sin nx dx)

montrer que la suite (In) avec n un entier naturel converge vers 0.

J'ai pensé utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz:

In
Donc je dois montrer que (intégrale de 0 à b de (sin²nx dx))^1/2 tend vers 0 mais je ne vois pas comment!

Est-ce que vous auriez une idée?

[kazeriahm]

salut

on te dit que f est C1. Comment utiliser cette hypothèse ?

[Clise]

Je ne pense pas que ce soit la méthode à appliquer parce que l'intégrale de 0 à b de sin²nx ne tend pas vers 0 quand n tend vers +infini mais vers b/2.

[Emaly]

Faut-il faire une intégration par partie avec u=f et v'=sin nx ?

[ffpower]

:++: :++:

[Emaly]

donc par IPP

In=[(f(x)/n)*cos nx]-intégrale de 0 à b de ((f'x)/n)*cos nx dx)

[(f(x)/n)*cos nx]=(1/n)(f(b)-f(0)) converge vers 0


on utilise Cauchy-Schwarz

intégrale de 0 à b de ((f'(x)/n)*cos nx dx)

-100
d'où
(1/n)(intégrale de 0 à b de (f'(x)²dx))^1/2*(intégrale de 0 à b de (cos² nx dx))^1/2 converge vers 0

Est-ce que c'est juste?

[ffpower]

C est juste.il manque juste un cos(nb) dans le calcul de la 1ere quantité mais ca change rien.Et dans la 2eme quantité,y avait pas besoin de cauchy schwarz,tu pouvais directement majorer par norme infinie(f')*b/n,mais bon ca marche quand meme comme tu a fait^^

[Emaly]

C'est vrai.

Merci beaucoup!