Problème économique (suites, 1ere ES)

[bad-math]

Bonjour, alors voilà j'ai un problème, voici l'énoncé :

Une dame achète un ordinateur à une société qui lui accorde un crédit de 1200€, le taux mensuel de ce crédit est de 1,5%.
Chaque mois, la dame doit rembourser une somme fixe de 60€, cette comprend d'une part les interets dus pendant le mois, et d'autre part une partie du remboursement du crédit.

1)Calculer les interets dus au premier mois, en déduire le montant du crédit restant après le premier versement.
*Bon ici facile pour les interet : 1200*(1.5/100) = 18€, et pour le montant restant : 60-18 = 42, 1200-42 = 1158€

2)On note Uo = 1200, le crédit initial et Un le montant du crédit qu'il reste à rembourser à l'issue de N ième mois.
On admet que Un+1 = 1.015Un-60, calculer U1 puis vérifier avec le résulat de la question 1
*Là je fais Un+1 = 1.015Un-60 = 1.015*1200-60 = 1158€, donc cela correspond bien.

3)Soit (Vn) la suite définie par Vn = Un-4000
a)Montrer que (Vn) est géométrique de raison 1.015.
*Ici, il faut, pour qu'elle soit géométrique qi'il existe un réel q tel que Vn+1=q*Vn
Donc Vn+1=Un+1-4000 = 1.015Un-60-4000 = 1.015Un-4060...pour trouver à la fin Vn+1 = 1.015*Vn, donc c'est bien une suité géométrique de raison 1.015 !

b)En déduire Vn et Un en fonction de n.
*Là je bloque !!

c)A partir de combien de mois la dame aura-t-elle remboursé la moitié de mon crédit ?
*Si je fait 1200/2 = 600, et 600/60 = 10, donc cela sera au bout de 10 mois, c'est bon ? Ne faut-il pas prendre en compte les taux d'interets ?

d)Quand aura-t-elle enfin fini de rembourser ce crédit ?
*Si je fait 1200/60 = 20, donc 20 mois, c'est bon ? Ou encore j'ai oublié les taux ?

Voila, je suis désolé mais l'exercice est long...
Ai-je bon ? pouvez-vous m'aider là ouù je n'y arrive pas ?

Merci !

Clem

[Quidam]

Je n'ai pas lu le début...Mais je lis :

Vn+1 = 1.015*Vn, donc c'est bien une suité géométrique de raison 1.015 !b)En déduire Vn et Un en fonction de n.
*Là je bloque !!

Si Vn est géométrique, alors non ?
Tu connais , tu connais en fonction de alors c'est quasiment fini, non ?

[bad-math]

Et bien ouii je suis vraiment bête !

Vn = Vo*(1.015^n), c'est la définition même d'une suite géométrique !

Mais pour Un comment faire ? je ne connais que Un+1...

Et si je considère que Vn=Vo*(1.015^n), et que aussi Vn=Un-4000 (comme le dit l'énnoncé).
Si je fait Vo*(1.015^n)=Un-4000, j'ai une chance de trouver Un en fonction de n ?

merci

Clem

[Quidam]

Si je fait Vo*(1.015^n)=Un-4000, j'ai une chance de trouver Un en fonction de n ?

À ton avis ?
Vo*(1.015^n)=Un-4000
donc
Un=Vo*(1.015^n)+4000

Et il me semble que tu connais Vo ...

Oui, c'est une grosse astuce...

[bad-math]

Ok merci j'éssaye de calculer ça !

Et pour les 2 dernières question ? j'ai bon ?

Merci

Clem

[Quidam]

Ok merci j'éssaye de calculer ça !

Et pour les 2 dernières question ? j'ai bon ?

Merci

Clem

c)A partir de combien de mois la dame aura-t-elle remboursé la moitié de mon crédit ?
*Si je fait 1200/2 = 600, et 600/60 = 10, donc cela sera au bout de 10 mois, c'est bon ? Ne faut-il pas prendre en compte les taux d'interets ?

La question est mal posée ! Elle est ambiguë. Capital et intérêts se mélangent et deviennent rapidement indiscernables. De l'argent, c'est de l'argent : point final ! Si l'on demande, "A partir de combien de mois la dame aura-t-elle payé la moitié de ce qu'elle a emprunté", évidemment, cela se calcule par 600/60=10. En dix mois, elle aura payé 600 euros, soit la moitié des 1200 euros qu'elle devait au départ. Mais ce n'est certainement pas la question !

Je pense que cela veut dire : "A partir de combien de mois la dette de la dame sera la moitié de ce qu'elle était au début ?". Comme chaque fois qu'elle paye, une partie de ce qu'elle verse est simplement les intérêts, le remboursement du capital est moindre que 60 euros chaque mois. Au bout de dix mois, elle devra toujours plus que 600 euros ! C'est le but de l'exercice que de répondre à cette question. Rappelle-toi l'énoncé :

"Un le montant du crédit qu'il reste à rembourser à l'issue de N ième mois"

Pour répondre à cette question, il faut trouver n tel que Un \ 600\ \ge U_n[/TEX]

Formule qui peut d'interpréter par : "Après n-1 mois, elle devra encore plus que la moitié de ce qu'elle a emprunté, mais après n mois elle devra moins"

c'est bon ? Ne faut-il pas prendre en compte les taux d'interets ?

Ben non ! Ce n'est pas bon ! Il faut prendre en compte les intérêts versés !

Si je fait 1200/60 = 20, donc 20 mois, c'est bon ? Ou encore j'ai oublié les taux ?

Même réponse : Ce n'est pas bon ! Il faut prendre en compte les intérêts versés !

[bad-math]

Juste un petit bémol..je ne connais pas Vo pour exprimer en fonction de n !
On connais Uo (= 1200) mais pas Vo !

Pfff ça m'énerve je n'arrête pas de chercher et je tourne en rond ! :triste:

[Quidam]

Vn = Un-4000

Donc, V0 = U0-4000=1200-4000=...

[bad-math]

Oui c'est ce que je me disais ! mais ca me semblait faux je ne sais pas pourquoi...bon je fais les calculs et je vous dis ce qu'il en est !

Merci !

Clem

[bad-math]

Bon c'est j'ai trouvé pour la 3)b) !
Vn=Un-4000
Vo=Uo-4000 = 1200-4000 = -2800

Pour exprimer Vn : Vn=Vo(1.015^n) = -2800(1.015^n)

Pour exprimer Un : Vo*1.015^n = Un-4000
Donc Un= -2800*1.015^n+4000 (ch'croi que l'on ne peut pas simplifier plus...)

Pour la c), vous avez raison ! je n'y avais pas pensé ! la dame ne rembourse pas 60€/mois, mais 42€/mois, car dedans il y a 18€ qui représentent les interêts ! (c'est la première question qui nous le fait calculer)...

Par contre je ne comprend pas votre raisonnement avec Un-1 "plus grand que" 600 "plus grand ou égal" à Un (désolé mais je n'arrive pas à faire les signe... :triste: )

Je suis vraiment vraiment désolé de ne pas comprendre...mais cela fait 3 jours que je cherche sans cesse !

Merci d'avoir une telle patience avec moi ! :++:

Clem

[bad-math]

Pas de réponse ? :doh:
Tanpi c'était un exercice pour demain...j'aurais bien voulu trouver la solution !

Ce n'est pas grace, merci encore pour votre aide et votre patience ! :++:

Clem

[bombastus]

Bonsoir,

j'ai lu rapidement, mais si Un représente le crédit qu'il reste à rembourser, pour la c, il suffit de résoudre l'équation Un

[Quidam]

A partir de combien de mois la dame aura-t-elle remboursé la moitié de mon crédit ?

La question n'est pas "pour quelle valeur de n la dame aura-t-elle remboursé la moitié de mon crédit ?". Et pour cause ! Si en n mois, elle a remboursé 50% de son crédit, en n+1 mois aussi et en n+2 mois aussi, etc... Les solutions seraient en nombre infini !

Donc si c'est "à partir de" n mois qu'elle aura remboursé 50% de son crédit, cela veut dire qu'à la fin du n-ième mois elle aura remboursé 50% de son crédit (donc ) et que ce sera la première fois que cela se produit, c'est à dire que jusqu'à la fin du (n-1)-ième mois inclus elle n'aura pas encore remboursé 50% de son crédit (donc )

D'où

[bombastus]

Il y a un truc qui m'échappe, là!

En résolvant l'équation un<600 (c'est 600, non?), on va trouver un résultat du type n>A, et la première valeur entière supérieure à A sera le nombre de mois à partir duquel elle a remboursé la moitié de son crédit??

L'équation Un-1>ou= 600 donnera le même résultat, mais on n'est pas obligé de prendre en compte les deux.

[Quidam]

Tu as trouvé :


Donc il te faut maintenant résoudre :



Sais-tu faire ça ?

[Quidam]

Il y a un truc qui m'échappe, là!

En résolvant l'équation unA, et la première valeur entière supérieure à A sera le nombre de mois à partir duquel elle a remboursé la moitié de son crédit??

L'équation Un-1>ou= 600 donnera le même résultat, mais on n'est pas obligé de prendre en compte les deux.

C'est juste une façon de s'exprimer ! Si tu cherches n tel que tu trouveras certainement pour une certaine valeur de x pas nécessairement entière. Et il y aura une infinité de solutions !
Si tu cherches le plus petit n tel que , cela veut bien dire que non ?

Mais cela ne complique absolument pas le processus ! En fin de parcours elle devrait trouver quelque chose comme :



Et la réponse sera l'unique entier vérifiant ces deux conditions !
Cela procure en effet une sécurité. Si x est un entier (par hasard) la formule :


permet de ne pas avoir à hésiter entre 17 et 18 pour la réponse !

C'est un réflexe que j'ai pour tous les problèmes de ce type ; j'avoue que ce n'est pas absolument essentiel ici, car il y a toutes les chances que le fameux x de la double inégalité soit un réel non entier. Mais en arithmétique, prendre cette précaution est essentiel.

Tomber sur donne 18 pour la réponse. Tomber sur donne 19 !

[bombastus]

Je ne suis pas d'accord, par exemple dans le cadre de ce problème, on a
Donc on va tomber sur une réponse du type :
Donc quelque soit la valeur de x, il est facile de connaître la plus petite valeur de n qui vérifie , même si x est un entier.

Et je ne vois pas dans quel cas cette sécurité serait nécessaire! (un signe ne peut pas être modifier au cours des calculs, il peut changer de sens mais le cas de l'égalité ne peut pas être supprimé).

Et c'est bien 600 et pas 500, non? (tu as mis partout 500 dans tes derniers calculs)

[Quidam]

Je ne suis pas d'accord, par exemple dans le cadre de ce problème, on a
Donc on va tomber sur une réponse du type :
Donc quelque soit la valeur de x, il est facile de connaître la plus petite valeur de n qui vérifie , même si x est un entier.

Et je ne vois pas dans quel cas cette sécurité serait nécessaire! (un signe ne peut pas être modifier au cours des calculs, il peut changer de sens mais le cas de l'égalité ne peut pas être supprimé).

Tu as peut-être raison. Si je tombe sur un exemple où cette précaution est utile, je te le ferai savoir. En tous cas, je me sens plus à l'aise quand je traduis la totalité de l'énoncé par une formule. Si j'écris , je dois aussi me rappeler que je cherche la plus petite valeur de n qui vérifie cela. Si j'écris, , je n'ai plus rien à me rappeler parce que c'est sous mes yeux : je cherche simplement à résoudre cette double inégalité !

Et c'est bien 600 et pas 500, non? (tu as mis partout 500 dans tes derniers calculs)

Ah oui, merci ! C'est corrigé !

[bombastus]

Si je tombe sur un exemple où cette précaution est utile, je te le ferai savoir.

Oui, je veux bien. J'avoue que je n'avais jamais réfléchi à cette précaution, donc c'est possible qu'il y ait quelque chose qui m'échappe!