Exercice sur les séries

[Nikimizi]

Coucou, je reviens avec un nouvel exo que je fais en supplémentaire (mais dont je m'en sors pas !!)

Voilà : L'objectif est de calculer la somme de la série dont le terme général Un est :

Un = ln [1 + 2/(n (n+3) )] ( n € N*)

a) Montrer que l'ont peut écrire Un = [ln(n+1)-ln(n)] - [ln(n+3)-ln(n+2)]

b) Simplifier Sn = somme Un (de n=1 à N)

c) En déduire la somme de la série

Le but étant de comprendre l'exo, le plus de détails possible est le bienvenu !!!

Merchi d'avance et bonne soirée !

[Clise]

Pour la question a, il suffit de réduire au même dénominateur, développer puis factoriser et enfin utiliser les propriétés de ln.

Pour la question b, essaye en séparant les sommes et faisant un changement d'indices.

Pour la question c, somme de la série = limite quand n tend vers + l'infinie de Sn

[Nikimizi]

La première question n'était pas bien compliquée certes et elle est faite , je bloque surtout pour la méthode de la 2 ayant énormément de mal avec les séries ...

[Clise]

Tu dois décomposer les sommes,

Sum (1 à N) Un = { sum(n=1 à N) ln(n+1) - sum(n=1 à N) ln(n) } - { sum(n=1 à N) ln(n+3) - sum(n=1 à N) ln(n+2) }

Tu vois que les sommes sont les mêmes a un indices près, en faisant un changement d'indices, essaye d'exprimer chaque somme en fonction de ln(n) et tu vas voir ça va se simplifier.

[Nikimizi]

Je comprends le raisonnement mais n'arrive pas à l'appliquer :/

C'est en réalité un exercice tiré du DS de l'année dernière que je fais en supplément et je suis un peu perdu sur le coup.

merci pour ton aide en tout cas ça m'éclaire un petit peu ^^

[Clise]

heu ... pas vraiment tu vois qu'entre sum(n=1 à N) ln(n+1) et sum(n=1 à N) ln(n) il y a le même nombre de termes (c'est à dire N) puisque n varie de 1 à N dans les deux cas.

par contre tu vois qu'ils sont décaler d'un rang.
Par exemple si je prends un exemple N = 3 histoire de pas en écrire trop
sum(n=1 à N) ln(n) = sum(n=1 à 3) ln(n) = ln(1) + ln(2) + ln(3)
sum(n=1 à N) ln(n+1) = sum(n=1 à 3) ln(n+1) = ln(2) + ln(3) + ln(4)

donc en soustrayant les deux, tu vois que ça se simplifie... Essaye maintenant de faire la même chose avec N.

[Nikimizi]

ok! c'est compris mici

je me retrouve avec :

ln(3)+ln(n+1)-ln(n+3) pour la somme de la série est-ce exact ?

[Clise]

:++:
Oui, c'est ça ! ^^

[Nikimizi]

Donc en gros tend vers ln(3) pour n->+oo

ca gère merci du coup de pouce :) !! ^^

[Clise]

Oui, c'est ça mais attention a la justification, on ne peut pas additionner des équivalent ;)