A.l et polynomes

[ericub]

salut
j'ai un exo avous vous soumettre pour savoir si j'ai bon ... :hein:

soit u: R4[X]: -> R4
u(P)=(P(0),P'(0),P(1),P('1))

1/ determiner Ker (u), en déduire rg (u) et determiner dim (u)
2/ montrer que les u(P)=(0,1,0,0) possède une unique solution P de degré inférieur ou égal a 3 et la determiner
3/ trouver toutes les solutions de u(P)=(0,1,0,0) avec P appartient a R4[X]


1/ alors pour Ker (u) j'ai trouvé X^4-2X^3+X^2 dc dim ker (u)=1
en déduire rg(u) : pour moi c'est la dim de R4[x] dc 5 et alors Im (u) =4 ...la je suis pas sur du tout

2/ je prends P= aX^3+bX^2+cX+d, je resouds et je trouve un polynome unique P=X^3-2X^2+X

3/ la cette fois je prends P=aX^4+bX^3+cX^2+dX+e
je resouds et je trouve que :
e=0
d=1
a=c+2
b=-3-2c
soit (c+2)X^4+(-3-2c)X^3+cX^2+1

voila j'espere que j'ai pas trop merdé :hum:

[nonam]

Tout m'a l'air bon. Sauf :
Pour la première question, utilise le th. du rang : dim(ker(u)) +rg(u) = dim( ) , et je ne vois pas ce que tu veux dire par Im(u) =4 ?
Pour la suite, plutôt que de résoudre des systèmes, j'aurai utilisé les divisions :
si P(0) = 0, P(1) = 0, et P'(1) =0, alors 1 est racine d'ordre 2, et 0 d'ordre 1, donc divise P...
Mais ce que tu as fait est juste.

[ericub]

Tout m'a l'air bon. Sauf :
Pour la première question, utilise le th. du rang : dim(ker(u)) +rg(u) = dim( ) , et je ne vois pas ce que tu veux dire par Im(u) =4 ?

je voualis utiliser le th du rang mais j'ai oublié de le citer... enfin bon on connait la dim de R4[X] et celle de ker u dc on peut en deduire celle de Im u

[nonam]

oui, c'est bien ça alors !