Dm sur les suites

[Nanoch]

Bonjour,voilà j'ai un exercice et il me pose des problèmes :

On cherche à savoir quelle suite entre Un=n² et Vn=1.1puissn tend le plus vite vers l'infini.

On pose Qn=n²/1.1puissn,
1)Conjecturer le plus petit entier k tel que tous les termes d'indice supérieur à k soit dans [0;1](là j'ai trouvé 96)
2)Démontrer que pour tout entier n,Qn+1/Qn=10/11(1+1/n)² (*) (j'ai réussi)
3)Démontrer que 10/11(1+1/n)²<1 si et seulement si n>21.Etudier le sens de la variation de la suite (Qn) à partir du rang 21. (c'est là que je bloque,je n'y arrive pas)
4)Justifier que pour tout n>=96 on a 0<=Qn<1 (là non plus)
5)a)En utilisant (*) démontrer que si n>=96,on a Qn+1<=(0.93)Qn
b)Justifier que Q98<=(0.93)²Q96 et prouver que pour n>=96 Qn<=(0.93)puiss(n-96)Q96
c)Déterminer lim(Qn)
d)Qu'en déduire pour le suites (Un) et (Vn)
Ces dernières questions,je n'y arrive pas.
Pourriez vous m'aidez m'aider svp ? Merci d'avance

[bombastus]

Bonjour Nanoch,

10/11(1+1/n)²<1
<=> ((n+1)/n)²<11/10
Tu développes ce qui est au carré, et après calcul, tu vas te retrouver avec un trinôme du second degré dont il faudra étudier le signe.

[Nanoch]

ok,alors ça me fait (n²+2n+1)/n²<11/10 ,donc est ce que le 11/10 je le laisse de ce côté ou je le met de l'autre ?

[bombastus]

Non c'est plutôt le n² que tu vas passer du côté de 11/10, et ensuite tu ramènes tout du même côté.

[Nanoch]

le n² celui qui est au dessous ? Donc ça ferait n²+2n+1<11n²/10 et après n²+2n+1-11²/10 <0

[bombastus]

Oui, celui qui est en desssous

[Nanoch]

alors ça fait -n²+20n+1<0 ?

[bombastus]

????

n²+2n+1-11n²/10 <0
<=> 10n²/10-11n²/10+2n+1<0
<=> ...

[Nanoch]

Ba ça fait ,-1n²/10+2n+1<0 ? mais le deux et le 1 il faut bien le mettre sur 10 aussi non ? Je trouve x1=20.49 et x2=-0.49

[bombastus]

Oups, pardon, j'avais lu ta réponse un peu vite, donc du coup on obtient :
-n²+20n+10<0

(en fait c'était pas obligé de mettre tout sur 10, mais tu as raison, c'est plus clair comme cela)

[bombastus]

Ba ça fait ,-1n²/10+2n+1<0 ? mais le deux et le 1 il faut bien le mettre sur 10 aussi non ? Je trouve x1=20.49 et x2=-0.49

Donc? conclusion?

[Nanoch]

ok bon c'est bon c'est ce que j'avais,donc voilà je trouve x1=21 si j'arron dis donc ensuite pour les variations comme qn+1/qn<1 qn+1

[bombastus]

Exactement

[Nanoch]

Pour la 4 ,je pensais à quelque chose,donc comme n² est toujours positif et 1.1puissn aussi alors 0

[bombastus]

Que vaut Q96?
Et maintenant que tu sais que la suite est décroissante...

[Nanoch]

Ok c'est bon j'ai trouvé comme elle est décroissante ,à partir de q96 elle va diminuer encore donc inférieur à 1.Pour la question 5a) je ne vois pas du tout cette fois pas quoi commencer.

[bombastus]

Pour la 5)a), sais-tu d'ou viens le 0.93? (Ca a un rapport avec (*)...)

[Nanoch]

Ba non je ne sais pas ,en tout cas je ne me suis pas trompée en tapant le texte.

[bombastus]

Et bien on obtient 0.93 en faisant :
Q97/Q96=10/11(1+1/96)²=0.93

et on veut montrer :
Qn+1/Qn<=(0.93) pour n>=96
soit :
10/11(1+1/n)²<=(0.93) pour n>=96

Donc étudie par exemple la fonction x->10/11(1+1/x)² et montres que pour x>=96, on a 10/11(1+1/x)²<=0.93

Remarque : tu peux faire la suite même si tu bloques à cette question.