Polynomes

par **Xouuox** » 11 Nov 2005, 16:58

Bonjour,

voici le dernier exercice de mon devoir de maths sur table que je n'ai malheuresement pu terminer voici mon avancement

Enoncé :

Déterminez le polynome P de degré 3 tel que pour tout réel x, P(x-1)-P(x) = x² et P(1) = 0
Demontrez ensuite que pour tout entrier naturel n >= 1 , 1²+2²+3²+4²+...+n² = P(n-1)
En déduire que 1²+2²+3²+4²+...+n² = [ n(n+1)(2n+1) ] / 6

Voici mon raisonnement (partiel)

Si P(x) est de dégré trois il est sous la forme ax^3+bx²+cx+d

Je calcule P(x+1)

P(x+1) = a(x+1)^3 + b(x+1)² + c(x+1) + d
P(x+1) = a(x^3+3x²+3x+1)+b(x²+2x+1)+cx+c+d
P(x+1) = ax^3+3ax²+3ax+a+bx²+2bx+b+cx+c+d
P(x+1) = ax^3 + (3a+b)x² + (3a+2b+c)x +a+b+c+d

Nous sommes d'accord ?

D'où

P(x+1)-P(x) = ax^3 + (3a+b)x² + (3a+2b+c)x +a+b+c+d -ax^3-bx²-cx-d
P(x+1)-P(x) = 3ax² + (3a+2b)x + a+b+c

Nous sommes toujours d'accord ?

On doit donc avoir :

P(x+1)-P(x) = 3ax² + (3a+2b)x + a+b+c = x²

on resout alors le sytème suivant :

3a=1
3a+2b=0
a+b+c=0

a=1/3
b=-1/2
c=1/6

P(x) pourrait alors s'écrire 1/3x^² -1/2x² +1/6x

calculons P(1)

P(1) = ZERO

Miracle il semblerait que j'ai trouvé P(x) = 1/3x^² -1/2x² +1/6x

Pour la suite je n'ai AUNCUNE idée de comment je pourrai résoudre ça
Je vous remercie d'avance pour le temps que vous consacrerez peut-être a ce sujet
Xouuox

par **thomasg** » 11 Nov 2005, 17:15

Bonjour,

sauf erreur de ma part, (ce qui arrive souvent), il me semble que l'énoncé tel qu'il est écrit est faux.

En effet,
si la formule écrite à la deuxième question est bonne alors P(2-1)=1+2²
or d'après la définition permettant de déterminer P on a P(2-1)=P(1)=0

Ceci dit, après modification de l'énoncé il me semble qu'il sera assez simple de résoudre la seconde question par réccurence.

A bientôt.

par **Xouuox** » 11 Nov 2005, 17:18

:( en effet je m'excuse 1²+2²+3²+4²+....+n² = P(n + 1)......

par **Xouuox** » 11 Nov 2005, 17:21

Par récurrence ? En quoi cela consiste t'il ? Comment pourrai-je l'appliquer à mon problème ? il s'agit de montrer que cela marche pour n=p et pour n=p+1 c'est bien cela ?

par **danskala** » 11 Nov 2005, 17:45

salut,

tu peux procéder ainsi: tu écris la relation

pour x=1 puis pour x=2... puis pour x=n

Cela donne:

...

Tu additionnes membre à membre.

Dans le membre de gauche les termes s'annulent deux à deux sauf P(n+1) et P(1) et il reste

Dans le membre de droite tu obtiens

d'où

bye

par **Xouuox** » 11 Nov 2005, 22:54

a ben ouais vu comme ça c'est sûr que c'est facile ! merci :)

par **allomomo** » 12 Nov 2005, 01:04

Salut,

Ca 'se taille" lol

par **Kimou** » 12 Nov 2005, 13:48

c'est bizarre j'ai exactemen le meme enoncé que toi a faire pour lundi tu es de ou?

par **Kimou** » 12 Nov 2005, 14:09

Xouuox a écrit:On doit donc avoir :

P(x+1)-P(x) = 3ax² + (3a+2b)x + a+b+c = x²

on resout alors le sytème suivant :

3a=1
3a+2b=0
a+b+c=0

a=1/3
b=-1/2
c=1/6

Comment fais-tu pour trouver le systeme ? d'ou tu sors les zéros et le 1?
merci

par **thomasg** » 12 Nov 2005, 15:40

tu identifie les deux membres terme à terme

dans le polynôme x², le terme de degré 2 a pour coefficient 1, le terme de degré 1 a pour coefficient 0 et le terme de degré 0 a pour coefficient 0

Voilà d'où sortent les zéros et le 1.

A bientôt.

par **Kimou** » 12 Nov 2005, 16:15

oui merci j'avais pas beaucoup réfléchi en effet !
salut :we:

par **Xouuox** » 19 Nov 2005, 18:56

Kimou a écrit:c'est bizarre j'ai exactemen le meme enoncé que toi a faire pour lundi tu es de ou?

Trinquet ?

par **Anonyme** » 19 Nov 2005, 20:05

Oui ! :p A lundi :)

par **Xouuox** » 19 Nov 2005, 21:14

MMMMMMMMMMDR !!!! C'est qui ?

par **Xouuox** » 19 Nov 2005, 21:17

1ere S 1 ?

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