Existence et unicité d'1 applic.linéaire

[steph]

Bonjour. Voici un exo mais je ne suis pas sûr de ma rédaction et je ne sais pas montere l’unicité.

Démontrer qu’il existe une application linéaire f et une seule de l’espace vectoriel R2 dans l’espace vectoriel R3 telle que
f(1,0) = (1,-1,0) et f (0,1) = (2,0,3)

je pense qu’on doit supposer qu’il existe une application linéaire g de R2 dans R3 telle que g(1,0) = (1,-1,0) et g (0,1) = (2,0,3)
ainsi pour tout vecteur (x,y) de R2 on à :
g ( (x,y) ) = g ( x(1,0) + y (0, 1) ) = ….. = (x+2y , -x , 3y )

On a donc trouvé une application linéaire qui répond aux conditions, si je comprend bien on à donc l’existence d’une telle application
Mais comment montrer qu’elle est unique ?

merci

[yos]

En supposant l'existence, on ne risque pas de prouver l'existence...
Ce que je vois prouve grosso modo l'unicité (sous réserve d'existence) puisque g(x,y) est bien déterminé.
Il y a un th qui dit qu'une appl. lin. est déterminée par l'image d'une base. Cela prouve existence et unicité.

[steph]

oui, merci mais tout ceci n'est pas trés clair..
qui peut m'en dire plus

[boulay59]

Ce n'est pas du cours qu'une application linéaire est entièrement déterminée par les images d'une base de l'espace de départ ??

Si, c'est du cours, mais tu ne l'as peut-être pas encore vu.
Ce que tu as fait est un peu confu : évite de dire on suppose que g existe ... donc elle existe. Il faut dire : SI f existe, alors f est de cette forme (x+2y , -x , 3y ) et réciproquement, ça marche !! et comme f est nécessairement de cette forme, f est unique
On aurait pu démontrer l'unicité à part (ce que l'on fait pour la grande majorité des problèmes d'existence unique) en supposant qu'il existe f et g vérifiant f(1,0)=g(1,0) et f(0,1)=g(0,1) et montrer en utilisant la linéarité que

[steph]

Merci Pour L4aide