Etude de variations ....

[sarou2604]

Bonjour, j'ai un petit problème pour étudier le signe d'une derivée (et donc le sens de la fonction f) donc j'aurais besoin d'un petit coup de pouce :)

J'ai f'(x)=( x/(lnx) )-e .. sur l'intervalle ]1; +infini[

Donc en mettant sur le même dénominateur j'obtiens f'(x) = (x -eln(x))/lnx
On sait que sur cet intervalle lnx>0 donc il suffit d'étudier le signe de x- eln(x)
Et là je reste bloquée ..

Merci de m'aider :)

[le_fabien]

Peut tu donner f(x) ?

[sarou2604]

Bah en fait à la base j'avais une intégrale ..
c'était F(x) = intégrale de e à x (t/lnt)dt
Et la question est : calculer F'(x) et etudier les variations de F sur ]1, +inf[
pr F'(x) je trouve donc (x- elnx)/lnx .. et maintenant il faut j'étudie le signe de cela ..

[le_fabien]

c'est donc faux.
Par définition F(x) est la primitive de f(x) =x/lnx qui s'annule en e
Donc F'(x)=x/lnx

[sarou2604]

Mais si je calcule F'(x) ca va me faire F'(x)= int. de e à x (t/lnt)'dt=[ t/lnt ] de e à x
et donc après j'aurais F'(x)= x/lnx - e/lne = x/ln -e .. nan?

[le_fabien]

Non.
Soit H(t) une primitive de t/lnt (donc H'(t)=t/lnt )
Alors F(x)=H(x)-H(e) donc F'(x)=H'(x)-(H(e))'=H'(x)=x/lnx :zen:

[sarou2604]

Je ne comprends pas où passe le (H(e))' ?!

[le_fabien]

c'est une constante,la dérivée d'une constante est nulle.

[sarou2604]

Okay merci beaucoup ..
Mais donc ensuite j'ai la fonction G(x)=int. de e à 2x (t/lnt)dt .. et je sais que G(x)=F(2x) sur l'intervalle ]1/2 ; +inf[ , et il faut que je calcule G'(x).
Comme je sais que F'(x)=x/lnx est ce que je peux dire que F'(2x)= 2F'(2x)=2(2x/ln(2x)) ou est ce que c'est totalement faux ? :s

[le_fabien]

Pour moi c'est bon.