Question sur les suites

[Starwelle]

Bonjour à tous, et merci d'avance de m'aider.


Voila, j'ai un exercice à faire et je bute sur une question :

Soit Un = sin (1/n) pour tout n > 0.
Du sens de variation sur [0;1] de la fonction f définie par f(x) = x - sin(x), déduire que 0 < Un < 1/n


J'ai donc déterminer le sens de variation de la fonction f. Selon moi, elle est croissante sur cet intervalle. Mais je n'arrive pas à voir le rapport entre son sens de variation et l'encadrement de la suite.
Si quelqu'un pourrait m'expliquer, s'il vous plait.

[Skullkid]

Bonjour, tout d'abord, est-ce que tu arrives à montrer que ? (pas besoin de f pour ça)

La fonction f te sert à démontrer la seconde inégalité : . Regarde du côté de f(1/n) et essaye de faire un lien.

[Starwelle]

Merci d'avoir répondu.

Je ne suis pas très sure de ce que je vais dire, mais pour moi :

-1 < Un < 1

Etant donné que le sinus d'un nombre est toujours compris entre -1 et 1.
Mais je ne vois pas comment je pourrai dire suite à ça qu'elle est positive. Est-ce que le fait que tout n soit positif a quelque chose à voir ?

Sinon : f(1/n) = 1/n - sin(1/n)
Mais comment établir un lien à partir de ça ?

[Skullkid]

Oui, est compris entre -1 et 1, mais c'est un encadrement trop large, ici on te demande de faire mieux : 1/n est toujours compris entre 0 et 1. Quel est le signe de sin x quand x est compris entre 0 et 1 ?

Pour la deuxième, puisque f est croissante sur [0,1], que dire de f(1/n) - f(0) ?

[Starwelle]

En effet, je comprends pourquoi 0 < Un.
Pour tout x > 0, sin x > 0 d'après le cercle.
Merci.

Etant donné que f est croissante :
0 < 1/n
Donc f(0) < f(1/n) <=> f(1/n) - f(0) > 0

[Skullkid]

Attention, sin x n'est pas positif pour tout x > 0, seulement sur certains intervalles, dont [0,1] (et même ).

Ok pour f(1/n) - f(0) positif. Et donc tu en conclus ?

[Starwelle]

En effet, je viens de réaliser l'erreur que j'ai dite.

1/n - sin (1/n) + sin (0) > 0
<=> 1/n - sin (1/n) > 0
<=> 1/n > sin (1/n)
<=> 1/n > Un

Merci beaucoup de m'avoir expliqué tout ça. J'ai bien compris comment procéder grace à vous.

[Skullkid]

De rien, bonne continuation :)