équation a une inconnue

[eratineur]

bonjour je suis en seconde général et j'ai un petit problème pour mon DM
l'énoncé est:
un homme dispose de 120m de barrière et il souhaite entourer sa propriété pour que l'aire totale soit la plus grande et de forme rectangulaire.On nome x la longueur.
1) Déterminer en fonction de x la largeur?
donc j'ai fait x+y=60 =>y=60-x j'ai appelé y la largeur
2)Déterminer en fonction de x l'aire du rectangle appelé S(x)?
donc je fais L*l=S(x) d'ou x*y=S(x) donc S(x)=x(60-x)=60x-x²
3)Vérifier que S(x)=900-(x-30)²

donc la j'ai fai 60x-x²=900-(x-30)²
60x-x²=900+x²+60x-900
900-900+60x-60x+x²-x²=0
4) faire le graphique de la fonction
donc je l'ai fait sur la calculette
5)Déterminer x pour que S(x)=500 et vérifier a l'aide du graphique
grace a la calculette je sais que c'est x=10(sauf si je me suis planter) mais par le calcul je ni arrive pas je bloque a 500=60x-x² j'y suis depuis hier :mur:

et enfin5)Derterminer x pour que S(x)>700 et vérifier a l'aide du graphique?
donc la encore j'ai 60x-x²>700 mais la encore je bloque car je sais que c'est x=16 grace o tableur

pouriez vous me dire si mes raisonement son bon et me donnez un coup de pouce pour les 2 dernières questions merci

[Teacher]

60x-x² factorise par x içi.

[Quidam]

bonjour je suis en seconde général

Quand tu seras en première, tu pourras faire tout ce que tu veux avec le second degré, mais jusque là, il faut éviter de faire des bêtises car tu n'as pas le moyen en seconde de résoudre n'importe quelle équation du second degré.

En effet : 500=60x-x² ou x²-60x+500=0 est une équation du second degré que tu apprendras à résoudre l'an prochain !

Il ne fallait pas utiliser la formule développée !

Tu as démontré que : S(x)=900-(x-30)²

Enfin, pas tout à fait :

donc la j'ai fai 60x-x²=900-(x-30)²
60x-x²=900+x²+60x-900
900-900+60x-60x+x²-x²=0

Là tu es parti de la conclusion !
Il fallait simplement développer 900-(x-30)² :

900-(x-30)²=900-(x²-60x+900)=60x-x²
.. et ainsi trouver que ça fait bien 60x-x²

Mais à présent, il faut te poser la question : Pourquoi donc m'a-t-on demandé de montrer que 60x-x² est égal à 900-(x-30)² ?

La réponse est que pour un élève de seconde, c'est difficile de résoudre :

60x-x²=500

Alors que c'est facile de résoudre :

900-(x-30)²=500

Et aussi,

900-(x-30)² > 700

Alors, à toi !

[Teacher]

C'est vrai qu'un trinôme en seconde ...

[Quidam]

C'est vrai qu'un trinôme en seconde ...

Ben oui ! C'est classique de chez classique ! En première on demande de résoudre : 500=60x-x²
mais en seconde on demande d'abord : Vérifiez que 60x-x²=900-(x-30)² et ensuite seulement on demande de trouver x tel que 500=60-x²

Je te rappelle que depuis la quatrième on sait résoudre les équations du second degré suivantes :

x² - 7x = 0
x² - 4 = 0
x² + 4 = 0

Donc, pour un seconde, résoudre 500=900-(x-30)² est possible ! C'est d'ailleurs un passage obligé pour aboutir en première à la résolution de toutes les équations du second degré !

[eratineur]

mon frère de première a réussi a résoudre facilement l'équation x²-60x+500=0 mais il bloque lui aussi sur 500=900-(x-30)²
mais 500=900-(x-30)² sa revient a 500=900-x²+60x-900 et quand j'éssaie d'avoir un résultat de la forme si l'un des produit est nul alors... j'obtient x(x-60)=500 j'ai les solution 500 et 560 mais 560sa marche pas et 500 je doit être dans l'intervalle [0;60]

[eratineur]

j'ai peut ètre trouver la solution mais je ne suis pas sur pouriez me dire ce que vous en pencer?
on a 900-(x-30)²=500
900-500=(x-30)²
400=(x-30)²
racine de 400=(x-30)
20=(x-30) mais on sais que si racine de 400 a 2 solution soit x=20 soit x=-20
donc on calcule avec x=20 donc sa donne 20=x-30
20+30=x
50=x
et pour x=-20 on a -20=x-30
-20+30=x
x=10 et voila mes 2 solution 10 et 50 mais es ce que le résultat et la manière son bonne?

[Teacher]

Le raisonnement reste bon ...

[Quidam]

mon frère de première a réussi a résoudre facilement l'équation x²-60x+500=0 mais il bloque lui aussi sur 500=900-(x-30)²
mais 500=900-(x-30)² sa revient a 500=900-x²+60x-900 et quand j'éssaie d'avoir un résultat de la forme si l'un des produit est nul alors... j'obtient x(x-60)=500 j'ai les solution 500 et 560 mais 560sa marche pas et 500 je doit être dans l'intervalle [0;60]

Ton frère devrait avoir exactement autant de mal pour résoudre 500=900-(x-30)² qu'il en a eu pour résoudre x²-60x+500=0. En effet, bien que ce soit stupide de développer alors qu'on est tout près de la solution, on peut dire que :
500=900-(x-30)²
est équivalent à :
500=900-(x²-60x+900)
c'est-à-dire :
500=900-x²+60x-900
ou :
x²-60x+500=0
Quand même ! C'est PA - REIL !!!!

[Quidam]

Le raisonnement reste bon ...

Pas tout à fait d'accord ! Le raisonnement est correct mais il y a beaucoup à dire sur la forme !

on a 900-(x-30)²=500
900-500=(x-30)²
400=(x-30)²
racine de 400=(x-30)

L'erreur commence ici. De 400=(x-30)² on ne peut pas déduire 20=x-30. La correction qui vient après est trop tardive. C'est ici qu'il faut dire :
20²=400
Donc 20 et (x-30) ont le même carré, ces deux nombres sont soit égaux, soit opposés ! Par conséquent, soit 20=(x-30), soit -20=(x-30), c'est-à-dire que x=50 ou alors x=10.
J'ai bien compris que tu as corrigé plus bas, mais c'est trop tard, puisque tu as déjà dit une contre vérité ; tu as dit ce qui n'est pas forcément vrai !

20=(x-30) mais on sais que si racine de 400 a 2 solution soit x=20 soit x=-20

Les tentatives suivantes pour "corriger le tir" sont d'ailleurs maladroites ! Ce n'est pas x qui est égal à 20 ou à -20 ! C'est (x-30) !

donc on calcule avec x=20 donc sa donne 20=x-30
20+30=x
50=x

Ce n'est pas admissible ! Tu écris quasiment côte à côte x=20 et x=50 ! Les deux "x" ne représentent pas la même chose !

et pour x=-20 on a -20=x-30
-20+30=x
x=10

Et encore ici : côte à côte x=-20 et x=10 !

En résumé, et pour répondre à ta question :

Le résultat est juste, le raisonnement qui l'a amené est correct également ! Mais la manière de l'exposer est mauvaise !

Si tu as une équation du genre 20²=(x-30)², tu as deux manières de la résoudre.

1 - Soit tu dis 20 et (x-30) ayant le même carré, ils sont soit égaux soit opposés, ce qui conduit aux deux équations :
20=x-30
ou
-20=x-30

D'où les deux solutions...

2 - Soit tu transformes comme ceci :

20²-(x-30)²=0
Comme c'est une différence de deux carrés :
(20+x-30)*(20-x+30)=0
soit finalement :
(x-10)*(50-x)=0

Ce qui conduit bien sûr aux deux solutions x=10 et x=50 !

[eratineur]

et oui encore moi merci déjà pour toutes ces explication qui ont illuminé ma lanterne seulement j'ai encore une dernière question :
pour la dernière question je fait comme vous m'avez monter mais j'aubtient soit x>30+10racine2 et x>30-10racine2 ce qui n'est pas logique vu que la fonction carré forme une parabole je devrait avoir x<30+10racine2 et x>30-10racine2

pouvez vous m'expliquer ou provient le changement de signe que j'ai sa:


S(x)>700
900-(x-30)²>700
(x-30)²>200
x-30>10racine2 et x-30>-10racine2
x>30+10racine2 x>30-10racine2


merci de m'aider une dernière fois

[Quidam]

S(x)=900-(x-30)²
S(x)>700 équivaut à :
900-(x-30)²>700
soit, 900-(x-30)²-700>0
ou 200-(x-30)²>0
ou encore
soit finalement :

ou


Là, il faut faire un tableau de signes ! Tu trouveras que la condition est réalisée seulement lorsque x appartient à l'intervalle