Endomorphisme normaux

[beeeeeennnnnn]

Bonjour, je suis en plein dans les révisions et je reste bloqué sur une question dans les espaces hermitiens
On sait que deux matrices diagonales commutent.
Or si Mat(u) (un endomorphisme) est diagonale dans une base alors Mat(u*) (la transposée de sa comatrice) l'est aussi.
Ainsi Mat(u)Mat(u*)=Mat(u*)Mat(u), ou u°u*=u*°u donc u est normal.
Ça voudrait dire que tout endomorphisme diagonalisable est normal ?
Les hermitiens et les unitaires aussi ?
Le prof n'a jamais fait remarquer ça.

Ma démonstration n'est pas juste ?

[Lierre Aeripz]

On sait que deux matrices diagonalisables commutent.

Enfin tout le monde ne le sait pas. Heureusement d'un certain côté...

[Maxmau]

Bonjour, je suis en plein dans les révisions et je reste bloqué sur une question dans les espaces hermitiens
On sait que deux matrices diagonalisables commutent.
Or si Mat(u) (un endomorphisme) est diagonale alors Mat(u*) (la transposée de sa comatrice) l'est aussi.
Ainsi Mat(u)Mat(u*)=Mat(u*)Mat(u), ou u°u*=u*°u donc u est normal.
Ça voudrait dire que tout endomorphisme diagonalisable est normal ?
Les hermitiens et les unitaires aussi ?
Le prof n'a jamais fait remarquer ça.

Ma démonstration n'est pas juste ?

Bj
"deux matrices diagonalisables commutent" ???
Les endomorphismes normaux sont les endomorphismes diagonalisables en Base orthonormée.
Les hermitiens et les unitaires sont normaux donc diagonalisables en BO

[beeeeeennnnnn]

Merci pour ta réponse Lierre Aeripz mais ça m'aide pas vraiment :)

[beeeeeennnnnn]

Ok merci beaucoup Maxmau,
mais il est faux de matrices diagonales commutent ?
Pourtant quand on fait le produit des deux matrices on se retrouve avec le produits de termes sur la diagonale et des zéros ailleurs non?

[Lierre Aeripz]

Je voulais dire par là que c'était faux ! Donc que tout ce qui suit aussi. Deux endomorphismes diagonaux commutent. Mais deux endomorphismes diagonalisables ne le sont pas nécessairement dans la même base donc ne commutent pas forcément.

[beeeeeennnnnn]

Dsl je viens de comprendre mon erreur :briques: , deux matrices diagonales et non diagonalisables commutent. Merci à vous deux.

[beeeeeennnnnn]

Ma démo corrigée comme ça est juste maintenant.

[Maxmau]

Ok merci beaucoup Maxmau,
mais il est faux de matrices diagonales commutent ?
Pourtant quand on fait le produit des deux matrices on se retrouve avec le produits de termes sur la diagonale et des zéros ailleurs non?

2 matrices diagonales commutent. Ca c'est exact
J'ai lu 2 matrices diagonalisables

[yos]

Or si Mat(u) (un endomorphisme) est diagonale dans une base alors Mat(u*) (la transposée de sa comatrice) l'est aussi.

Je pense que la transposée de la comatrice de u n'est pas la matrice de u* en général (sauf si c'est en repère orthonormé).