Equation trigo

[lolotte6501]

Bonjour!J'ai un petit problème je ne sais pas comment résoudre cette équation: (V: racine)
sin x + cos x = V2
Je ne vois pas quelle formule je peux appliquer alors si vous avez avez une petite idée je vous dis merci d'avance!

[chan79]

salut
je diviserais les deux membres par V2
pour tomber sur une équation du genre sin( ) = 1

[chan79]

ou sinon tu as
cos x = sin(pi/2 - x)
et
sin p + sin q = 2 sin((p+q)/2) cos((p-q)/2)

[lolotte6501]

Salut et merci de m'aider!
Je connais pas la 2ème formule avec les p et les q...
Par contre si je fais la 1ère formule je tombe sur
sin x + sin ((Pi/2)-x)=V2 mais là euh......je sais pas trop quoi faire...

[Benjamin]

Bonjour, pour ma part, j'éleverai au carré l'equation de départ. Et en développant, il reste 2cos(x)sin(x), ce qui se simplifie... Tu trouves alors x.

[lolotte6501]

Salut je vois pas comment tu développe le (cosx)^2+(sinx)^2=2...

^2: au carré

[Benjamin]

Quand tu élèves au carré, tu n'obtiens pas cos²(x)+sin²(x)=2, ceci est faux.
C'est l'ensemble du membre qu'on élève au carré : si A=B alors A²=B², ce qui donne ici :
(cos(x)+sinx(x))²=2.
Et (cos(x)+sin(x))² se développe avec l'aide d'une identité remarquable.

[lolotte6501]

Ah oui oups pardon je vais essayer de le faire merci!!

[lolotte6501]

sin x + cos x = V2
(cos(x)+sinx(x))²= 2
cos²x+sin²x+2cosxsinx=2
Comme cos²x+sin²x=1
2cosxsinx= 1
sin 2x=1
2x=PI/2 + k 2 PI
D'où x= PI/4+kPI
C'est juste?

[Benjamin]

sin x + cos x = V2
(cos(x)+sinx(x))²= 2
cos²x+sin²x+2cosxsinx=2
Comme cos²x+sin²x=1
2cosxsinx= 1
sin 2x=1
2x=PI/2 + k 2 PI
D'où x= PI/4+kPI
C'est juste?

Oui, mais tu as trop de solution. Je t'explique pourquoi. Quand tu as A=B, alors A²=B². Mais, ça ne marche pas dans l'autre sens. Si A²=B², tu n'as pas A=B. Tu as A=B OU A=-B. Le 'ou' est très important. Donc ici, tu as montré que si tu as cos(x)+sin(x)=v2, alors x fait partie des l'ensemble PI/4+kPI.
Maintenant, il faut regarder le retour.
Pour quel(s) k de cet ensemble, l'équation de départ est vraie ?

[lolotte6501]

Désolé mais je comprends pas ce que tu m'as dit..Ou alors c'est 2PI?

[chan79]

Salut et merci de m'aider!
Je connais pas la 2ème formule avec les p et les q...
Par contre si je fais la 1ère formule je tombe sur
sin x + sin ((Pi/2)-x)=V2 mais là euh......je sais pas trop quoi faire...

tu as la formule sinp+sinq=..
2sin pi/4 * cos(x-pi/4)=V2
cos(x-pi/4)=1
x=pi/4 + k2pi

[lolotte6501]

Salut merci de m'avoir donné la méthose mais c'est bon j'ai réussi autrement grâce à benjamin631 mais je n'ai pas compris son dernier message donc si quelqu'un peut m'expliquer ça serait gentil merci!!

[Benjamin]

Je vais essayer de reprendre.

Si je dis, résoudre x=2.

La solution, c'est x=2.

Maintenant, si x=2, alors, x²=4.

Mais, si je dis résoudre x²=4, il y a 2 solutions, x=2, comme avant, mais aussi x=-2, puisque (-2)²=4.

Autrement dit, résoudre x²=4 n'est pas strictement équivalent à résoudre x=2. En fait, quand tu élèves au carré, tu perds une information, celle du signe, puisque (-1)²=1. On ne travaille qu'avec des nombres positifs.

Ici, il était plus simple de résoudre en élevant le carré. Mais en faisant ça, tu rends le problème plus général. Tu trouves plus de solutions que tu devrais en trouver.

Donc, parmi toutes les solutions trouvés, il faut éliminer celle qui ne sont pas bonnes.

[lolotte6501]

Ah d'accord j'ai compris merci!Alors pour pas que j'ai -PI/4 la solution est
X=pi/4 + k2PI c'est ça???

[Benjamin]

Exactement

[lolotte6501]

D'accord!Merci beaucoup tu m'as beaucoup aidé!Merci encore!Bonne soirée! :we: