Equation certainement basique

par **fredmathforum** » 06 Mai 2008, 15:36

Bonjour a tous.

Je réalise une etude sur les transports en commun ou par jeu, je souhaite donner cet exemple :

si je rentontre une personne par mois et que chacune d'entre elles rencontre elle-meme une personne par mois et ainsi de suite, combien aurais-je généré de rencontre ?

Je n'arrive pas à écrire cette equation, ni trouver le résultat.

C'est pyramidal, le nombre doit etre énorme à la sortie mais....

Merci a tous pour votre aide.

par **exopia** » 06 Mai 2008, 15:39

au bout du premier mois, tu rencontre 1 personne, donc vous etes 2.
Au bout du deuxieme mois, tu rencontre une personne et la 2emme aussi ==> 4
3eme mois ==> 8
...
...
au bout du n-ieme mois, il y a 2^n personnes rencontrées ;)

par **fredmathforum** » 06 Mai 2008, 15:42

merci !!

donc 2^12

:)

par **le_fabien** » 06 Mai 2008, 15:43

Salut ,
il suffit de poser Uo=1 : une rencontre le premier mois
U1=2 : deux rencontres le 2eme mois , elles sont générées par moi même et par la personne que j'ai rencontré le 1er mois
U3=3 : trois rencontres le 3eme mois...
Un=n : n rencontres le nieme mois

Voilà il me semble que l'on peut le modéliser ainsi
Pour déterminer le nombre de personnes en tout rencontrées il faut effectuer la somme de tous les termes de cette suite arithmétique.

par **exopia** » 06 Mai 2008, 15:44

euh, c'est bien plus simple de le montrer par récurrence à mon avis. En partant de la démonstration avec des "..." et en la formalisant comme il faut.

par **jver** » 06 Mai 2008, 15:46

exopia a écrit:au bout du premier mois, tu rencontre 1 personne, donc vous etes 2.
Au bout du deuxieme mois, tu rencontre une personne et la 2emme aussi ==> 4
3eme mois ==> 8
...
...
au bout du n-ieme mois, il y a 2^n personnes rencontrées

Certes! mais si les personnes rencontrées sont toujours nouvelles!
çà rappelle les lapins de Fibonacci!

par **le_fabien** » 06 Mai 2008, 15:48

Qui peut démontrer que j'ai fait une erreur ?
Ai je mal lu l'énoncé ?

par **fredmathforum** » 06 Mai 2008, 15:51

effectivement, chaque mois, les personnes sont nouvelles, soit une pyramide de nouveaux interlocuteurs sur 12 occurences de "rencontre".

par **exopia** » 06 Mai 2008, 15:59

Oui, dans ce cas la faut passer par les probas (ca tombe bien c'est ce que j'étudie en ce moment en math) :

On considère un univers omega composé de tous les individu de la planetes, prenons card(omega)= P ( par exemple P=6 milliard)

Soit N le nombre de personnes deja rencontrées, pour une personne, la proba de rencontrer une personne deja comptabilisé est (P-N)/P

Il s'agit la d'une loi binomiale B(n,p)
avec p = (P-N)/P
et n = P-N

L'esperence de rencontre personne rencontrées à la fin du mois est e=np soit E=(P-N)²/P
La variance est s²=np(1-p) donc s²=-N(P-N)²/P²

Maintenant étudions se qui se passe au bout de x mois, il s'agit d'étudier la convergence d'une series de variables aléatoires ( donc théorème central limite oblige )

La variable aléatoire (X-E).sqrt(n)/s suis une loi de students ( pas une loi normale car il est fortement probable d'étudier n<50 et de toute facon la loi de students converge vers la loi normale pour n>50 )

Il suffit ensuite de choisir une limite que l'on souhaite avec un proba de confiance et de lire sur la table le resultat.

par **Quidam** » 06 Mai 2008, 16:18

LEFAB11 a écrit:Qui peut démontrer que j'ai fait une erreur ?
Ai je mal lu l'énoncé ?

A ton service :

LEFAB11 a écrit:Salut ,
il suffit de poser Uo=1 : une rencontre le premier mois
U1=2 : deux rencontres le 2eme mois , elles sont générées par moi même et par la personne que j'ai rencontré le 1er mois

Jusque là ça va !

LEFAB11 a écrit: U3=3 : trois rencontres le 3eme mois...

Top ! Ici, il y a erreur ! Toutes les suites commençant par 1 et 2 ne sont pas des suites arithmétiques ! Il s'en faut de beaucoup. S'il est vrai que U0=1 et que U1=2, tu n'as absolument rien fait pour pouvoir en déduire que U3=3 ! Au passage, tu as laissé tomber U2 qui proteste ! Le risque, lorsque l'on ne démontre pas ce que l'on dit, est de dire des contre-vérités !

LEFAB11 a écrit: Un=n : n rencontres le nieme mois

Re-Top ! Toutes les suites qui commencent par 1, 2 et 3 ne sont pas arithmétiques ! En outre, quand bien même cela avait été une suite arithmétique, cela aurait été Un=n-1 !!!! et pas Un=n !!! Deuxième faute ! Tu me diras, avec la première faute, tu étais déjà sorti des rails, mais bon !

par **fredmathforum** » 06 Mai 2008, 16:23

Et bien, ce n'est pas trivial

Le 2^n est faux alors ?

par **exopia** » 06 Mai 2008, 16:29

tu veux que je te fasses la démonstration complete par récurrence ? :briques:

par **exopia** » 06 Mai 2008, 16:34

soit U(n)=2^n
et on sait que le nombre de personne rencontré double chaque mois ( c'est écrit dans l'enoncé )

Pour n=1, on rencontre 2*1=2=2^1=U(1)

supposons que jusqu'au rang n la propriété est vérifiée.

au rang n+1, on rencontre 2*2^n = 2^(n+1) = U(n+1)

La propriété est bien vérifiée.

C'était pas si long finalement ^^

Equation certainement basique

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