2002^2002

[aviateurpilot]

salut
trouve la valeur minimal de t pour qu'ils existent des entiers tel que :

[aviateurpilot]

vous n'avez pas de solution?

[aviateurpilot]

:doh: :doh:

[BiZi]

x1^3+x2^3+...+xt^3=(x1+x2+...+xt)² (inégalité classique qu'on prouve par récurrence, pour t>1).

Pour t=1, on cherche un x tel que x^3=2002^2002;

Comme 2002=2*7*11*13, on a

2002^2002=2002=(2*7*11*13)^(2*7*11*13). Comme 3 ne divise pas 2*7*11*13, il est impossible que x^3=2002^2002.

Donc t>1.

D'où x1+x2+...+xt=2002^1001 ou =-(2002^1001).

Pour x1=(2002^1001)/2 et x2=2002^1001)/2, on a bien le résultat voulu.

Donc la valeur minimale de t est t=2.

Enfin ca me paraît un peu bizarre comme exercice :hein: C'était ca qu'il fallait trouver?

[Quidam]

x1^3+x2^3+...+xt^3=(x1+x2+...+xt)² (inégalité classique qu'on prouve par récurrence, pour t>1).

D'où sors-tu cela ? On sait que
mais n'est pas toujours égal à
Par exemple, si et , alors qui n'est pas égal à

D'ailleurs, ta solution et ne semble pas en être une :



et



Je crois qu'il n'y a pas photo !

...ou alors, je ne suis pas bien réveillé...

[aviateurpilot]

(inégalité classique qu'on prouve par récurrence, pour t>1).

c'est pas une inégalité, c'est une egalité
et en plus c'est pas vraie

[aviateurpilot]

je vous donne un indice en se basant par ma solution d'un autre probleme
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=14504&page=3 =>

soit n de Z
telque

il existe une infinite de x tel que
donc il existe une infinité de k tel que


et on a
donc
puisqu'il y a une infinité de k
alors on peut l'ecrire d'une infinité de façon sous forme d'une somme de 5 cubes

c'est pas tres difficile

donc

[BiZi]

Alors là désolé! J'ai totalement fumé mdr pardon. En fait j'avais lu dans ma tête "2002^2002=1^3+2^3+...+n^3". C'est pas bien d'avoir des réflexes comme ca c'est un obstacle à la créativité :mur:

[Mhdi]

il existe une infinite de x tel que x^3\equiv r [6]

pk?

P.S : Dsl de déterrer le sujet.

[lapras]

salut
en fait c'est parce que les cubes prennent toutes les valeurs possibles modulo 6 : {0,1 , 2 , ...,5}

[Mhdi]

Ah! Mais c'est quand même diabolique à trouver comme solution!
Comme par hasard, il a choisi 6 qui peut être écrit comme la somme de 4 cubes
et qu'il y a une infinité de x tel que
Qu'est ce qui peut mettre sur la voie?

[lapras]

En fait par fermat
x^3 = x [3]
et évidemment
x^3 = x [2]
x^3 = x [6]
donc tu as bien tous les résidus pris
apres trouver 6k comme somme de 4 carrés on va dire que faut juste cherche un peu.
Pour trouver l'idée fallait, je pense, essayer de réduire le nbre de cube dans la somme : 4 au lieu de 5 cubes.
donc on se demande si il existe justement un a tel que
x^3 = x [a]
et on trouve facilement 6 solution