Arithmétique : coefficients binomiaux
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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lapras
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par lapras » 01 Mai 2008, 13:40
Soit n un entier positif ou nul tel que pour tout 0 <= k <= n, (k , n) est impair.
Montrer que n = 2^m
1 pour un entier m.
(k , n) c'est "k parmis n" (ou Cnk)
Bon courage
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aviateurpilot
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par aviateurpilot » 02 Mai 2008, 15:31
on peux tjrs ecrire
avec
.
supposons que
.
et on a
.
donc
et sais deja que
divise
qui sera donc pair (absurd).
donc
et dans ce cas
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lapras
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par lapras » 02 Mai 2008, 19:15
Bravo !
Démonstration tres agréable visuellement, mais plutot difficile a comprendre car elle est tres condensée.
Mais c'est juste !
Autre preuve :
Théoreme de lucas
soit p un nbre premier
n décomposé en base p de facon unique :
n = a0 + a1*p + ... + a_i*p^i
de même
k = b0 + b1*p + ... + b_i*p^i
alors
(n , k) = (a0 , b0)*(a1, b1) * ... * (a_i , b_i) [mod p]
En tenant compte du fait que (n , k) est impair pour TOUT k, on démontre facilement que pour tout i, a_i = 1
donc en base 10
n = 2^(i+1) - 1
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ThSQ
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par ThSQ » 03 Mai 2008, 21:04
On peut aussi raisonner modulo 2 :
(a+b)^{2^n} = a^{2^n} + b^{2^n}
....
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