Raisonnement par récurrence *Résolu*

[Pitchoun56]

Bonjour à tous,
Voilà j'ai un petit souci avec mon exo de maths, je doit démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence une expression, voici le sujet :

"On pose pour tout t de [0;pi] et n>=1 :
Dn(t)=(1/2)+cos t + cos (2t) +...+cos (nt)
Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurence que pour tout n>=1 et t de ]0;pi] :
Dn(t)= (sin(n+(1/2))t)/(2sin(t/2))

(on nous rapelle également que 2cos a*sin b=sin(a+b)-sin(a-b))"

Merci d'avance pour l'aide que vous pourriez m'apporter.

[_-Gaara-_]

Salut,

Tu as :

Dn(t)=(1/2)+cos t + cos (2t) +...+cos (nt) et ce pour tout t de [0;pi] et n>=1.


ta propriété P(n) est :

P(n) = " Dn(t)= (sin(n+(1/2))t)/(2sin(t/2)) " soit,

P(n) = " (1/2)+cos t + cos (2t) +...+cos (nt) = (sin(n+(1/2))t)/(2sin(t/2)) " et ce pour tout t de [0;pi] et n>=1.

Tu dois :

Initialiser pour n = 1, montrer que P(1) est VRAIE.

Héréditionner looool xD mdr : montrer que si P(n) vraie, alors P(n+1) vraie, en d'autres termes,

si tu as (1/2)+cos t + cos (2t) +...+cos (nt) = (sin(n+(1/2))t)/(2sin(t/2))

tu dois montrer que

(1/2)+cos t + cos (2t) +...+cos ((n+1)t) = (sin((n+1)+(1/2))t)/(2sin(t/2))

xD

Bon courage !

et puis oublie pas de conclure =)

[Pitchoun56]

Merci beaucoup de ton aide mais je n'arrive pas à passer de l'expression avec les cosinus à celle avec les sinus et inversement.
Si vous pourriez me donner quelques pistes, merci.

[_-Gaara-_]

Tiens çà pourrait te faciliter la vie :

http://pagesperso-orange.fr/gilles.costantini/Lycee_fichiers/CoursT_fichiers/formtrig.pdf

[Pitchoun56]

Je te remercie mais je suis sincèrement désolé je ne vois toujours pas comment faire. Je doit être un cas désespéré !!!

[AL-kashi23]

T'as réussi à montrer au premier terme ou pas ? Il faut commencer par là, et en plus ça peut donnerdes idées pour la suite ( pour "héréditionner" comme le dit bien gaara, celle-là je la remet en contrôle xD)...

[_-Gaara-_]

T'as réussi à montrer au premier terme ou pas ? Il faut commencer par là, et en plus ça peut donnerdes idées pour la suite ( pour "héréditionner" comme le dit bien gaara, celle-là je la remet en contrôle xD)...

lol tu scanneras la réaction du prof hein ok ?? mdrrrrr :we: :we: :we:

[Pitchoun56]

non je n'ai pas trouver au rang n=1

[Pitchoun56]

Il n'y a plus personne pour m'aider ???

[_-Gaara-_]

Il n'y a plus personne pour m'aider ???

je t'ai pourtant tout dis ! >.<

essaye de montrer que :

(1/2)+cos t + cos (2t) +...+cos (nt) = (sin(n+(1/2))t)/(2sin(t/2))

pour n = 1 :briques:

[Pitchoun56]

oui mais je n'y arrive pas

[_-Gaara-_]

Bonjour à tous,
Voilà j'ai un petit souci avec mon exo de maths, je doit démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence une expression, voici le sujet :

"On pose pour tout t de [0;pi] et n>=1 :
Dn(t)=(1/2)+cos t + cos (2t) +...+cos (nt)
Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurence que pour tout n>=1 et t de ]0;pi] :
Dn(t)= (sin(n+(1/2))t)/(2sin(t/2))

(on nous rapelle également que 2cos a*sin b=sin(a+b)-sin(a-b))"

Merci d'avance pour l'aide que vous pourriez m'apporter.

Je suis désolé mais à part te donner la réponse .. je ne vois pas comme faire..

Tu veux la réponse ?

[Pitchoun56]

ou alors donnez moi seulement la première opération et je verrai ce que je peut faire ensuite, et encore merci pour l'aide.

[_-Gaara-_]

J'aurais besoin de précisions...

As-tu bien recopié l'énoncé ?

[Pitchoun56]

oui il n'y a pas d'erreur à moins que ce soit l'énoncer qui soit faux

[_-Gaara-_]

Dn(t)=(1/2)+cos t + cos (2t) +...+cos (nt)
Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurence que pour tout n>=1 et t de ]0;pi] :
Dn(t)= (sin(n+(1/2))t)/(2sin(t/2))

Okay donc on part du principe que c'est bon.

Dn(t)=(1/2)+cos t + cos (2t) +...+cos (nt)

pour n = 1 çà deviens quoi ?

[Pitchoun56]

pour n=1, on a (1/2)+cos t
c'est çà?

[_-Gaara-_]

En fait c'est justement çà l'ambiguïté qui me pose soucis :doh:

[Pitchoun56]

ba moi pareil j'arrive pas à aller plus loin que çà n'arrive pas à passer à des sinus

[chan79]

salut
Vérifie les parenthèses dans ton expression: Dn(t)= (sin(n+(1/2))t)/(2sin(t/2))
pour n=1 et t=pi, ça ne marche pas on dirait ...