équation fonctionnelle IMC 2000
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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lapras
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par lapras » 03 Mai 2008, 17:00
Bonjour,
Trouver toutes les f:IR+* -> IR+*
telles que pour tout x, y > 0
f(x)*f(y*f(x)) = f(x+y)
Cette équation n'est pas évidente donc bonne chance et bon courage.
(source : IMC 2000)
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jver
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par jver » 03 Mai 2008, 17:36
lapras a écrit:Bonjour,
Trouver toutes les f:IR+* -> IR+*
telles que pour tout x, y > 0
f(x)*f(y*f(x)) = f(x+y)
Cette équation n'est pas évidente donc bonne chance et bon courage.
(source : IMC 2000)
f(0)=1 est évident (y=0)
J'ai un peu regardé, ensuite:
f(x)*f(x*f(x)) = f(2x)
Est-il imbécile de développer en série:
Je me suis peut-être trompé, mais je trouve que, a1 étant fixé
a2 est solution de
Puis,
Mais je ne suis pas certain que çà me mènera bien loin!
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jver
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par jver » 03 Mai 2008, 17:44
Rain' a écrit:f n'est pas définie en 0
Scuses, j'avais mal lu. L'énoncé voudrait-il dire que f n'est pas continue en 0?
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lapras
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par lapras » 03 Mai 2008, 17:54
Aucune hypotheses supplémentaires (pas de continuité etc...) :zen:
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jver
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par jver » 03 Mai 2008, 18:37
Et si nous regardions
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ffpower
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par ffpower » 03 Mai 2008, 18:42
je pense aussi que c ca la solution mais bon(j ai du supposer que f était C1 et prolongeable en 0 lol)
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jver
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par jver » 03 Mai 2008, 19:12
ffpower a écrit:je pense aussi que c ca la solution mais bon(j ai du supposer que f était C1 et prolongeable en 0 lol)
Moi, itou!
J' ai pris
et on arrive à une équation différentielle ...
Maintenant la question est celle d'autres solutions, éventuellement pas continues ...
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lapras
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par lapras » 03 Mai 2008, 19:16
Oui mais vous sortez les gros outils là ! De plus on ne peut absolument pas supposer la continuité.
Il existe une démonstration basique (lycée) et une démonstration apperement plus technique.
En effet, 1/(ax +1) est l'ensemble de vos solutions. Bien vue !
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ffpower
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par ffpower » 03 Mai 2008, 19:20
Bon j ai reussi a montrer que f est continue,décroissante et qu elle tend vers 1 en 0 et vers 0 en l infini.Si avec tout ca j y arrive pas..^^
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lapras
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par lapras » 03 Mai 2008, 19:21
Vas y poste ta démonstration :++:
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emdro
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par emdro » 03 Mai 2008, 19:38
Bonjour,
Soient x et z strictement positifs.
En posant y= z/f(x), la relation f(x)*f(yf(x))=f(x+y) donne
f(x)f(z)=f(x+z/f(x)).
L'expression f(x)f(z) étant symétrique, on a donc f(x+z/f(x))=f(z+x/f(z)).
Dans les cas où f est injective, on a x+z/f(x)=z+x/f(z),
et en fixant z, c'est fini.
Je ne vois pas encore pourquoi (à part la fonction égale à 1), f est injective...
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ThSQ
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par ThSQ » 03 Mai 2008, 19:44
Suffit de montrer que f(t) < 1 pour tout t pour avoir f strictt décroissante et donc injective.
Si f(t) > 1, y = t/(f(t)-1) et blème car ça donne f(t) = 1.
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lapras
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par lapras » 03 Mai 2008, 19:49
Exact ThSQ
Maintenant tu peux prouver facilement que si il existe x0 tel que f(x0) = 1, alors pour tout x f(x) = 1
reste le cas f(x)<1
alors
f(x)donc f décroissante et en particulier injective
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emdro
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par emdro » 03 Mai 2008, 19:50
Eh bien voilà, non?
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ffpower
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par ffpower » 03 Mai 2008, 19:53
Donc je suis parti de f(x)f(yf(x))=f(x+y) et j ai remarqué que si yf(x)=x+y,alors f(x)=1 en simplifaint..or yf(x)=x+y equivaut a f(x)=x/y+1,et x/y+1 ne peut etre egal a 1 donc on ne peut avoir f(x)=x/y+1.ceci etant vrai pour tout y,j en deduis que f(x) est plus petit que 1.maintenant,f(x+y)/f(x)=f(yf(x)) est plus petit que 1 donc f est decroissante.Les autres propriétés s en deduisent rapidement mais j ai pas encore reussi a conclure(mais ca ne saurait tarder^^)
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ffpower
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par ffpower » 03 Mai 2008, 19:54
Arggh,4 posts pendant le mien,comme je me suis fait grillé la snif..
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lapras
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par lapras » 03 Mai 2008, 20:04
Emdro >
Ta solution a l'air bonne ! Je suis étonné je ne pensais pas trouver aussi simple !
ffpower > Oui c'est ca
Pour conclure on a une autre possibilité :
f(x)f(yf(x)) = f(x + y) = f(yf(x) + x + y(1-f(x))= f(yf(x))f((x +y(1-f(x))*f(y*f(x)))
par injectivité
(x +y(1-f(x))*f(y*f(x)) = x
on pose x = 1
z = x*f(1)
a = (1-f(1))/f(1)
on obtient :
f(z) = 1/(az + 1)
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ffpower
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par ffpower » 03 Mai 2008, 20:09
Bon ben du coup c est torché ouais,bien joué emdro pour la fin..Tres sympa en tout cas cette ptite equation..
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emdro
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par emdro » 03 Mai 2008, 20:14
lapras a écrit:tu peux prouver facilement que si il existe x0 tel que f(x0) = 1, alors pour tout x f(x) = 1
Comment le fais-tu?
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lapras
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par lapras » 03 Mai 2008, 20:17
Supposons x0 tel que f(x0) = 1
alors
x = x0 =>
f(y) = f(y + x0) pour tout y
donc une période est x0
comme f(x) <= 1 pour tout x et que f est décroissante, alors f(x) = f(x0) = 1 pour tout x
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