Géométrie

[lilo]

Bonjour j'ai un devoir qui me pose beaucoup de problème voilà l'énoncé:

On considère les doite (d) et (d') suivantes:

(d) : x= 2t y= 3-4t z= 1
(d') : x= 1 y= 2+t' z= 3t'+4

1°) Montrer qui (d) et (d') sont sécantes en un point A dont on donnera les coordonnées.
2*) Soit B(-1;2;3)
a-Montrer qui B n'est pas dans le plan déterminé par es droites (d) et (d').
b-A tout point de (d) de paramètre t,on associe f(t)=BM² .Calculer f(t) et déterminer pour quelle valeur t0 de t,f(t) est minimal.
Que peut-on dire du point H de (d) de paramètre t0?
c-En procédant de même,déterminer le point K de (d') dont la distance à B est minimale.
3°) Montrer que le tétraèdre ABHK est inscrit dans une sphère que l'on déterminera.

Pour la 1ere question j'ai fais:
2t=1
34t=2+t'
1=3t'4

donc t=1/2
t'=-1

Alors x=1 y= 1 z=1

Mais lorsque je vérifie pour (d'),cela ne donne pas le même résultat pour y car je trouve -2 et non 1.

[lilo]

Ah si je trouve bien 1 :id: .Mais la suite me pose problème

[The Void]

Bonjour,

2)a)
Il y a plusieurs solutions:
Si tu connais le déterminant, il te suffit de calculer le déterminant de AB, vecteur directeur de d, vecteur directeur de d', et de le trouver non nul.
Sinon tu peux par exemple essayer de trouver une équation de ce plan, il passe par A et est dirigé par les vecteurs directeurs de d et d', donc tu peux trouver un vecteur normal n(a,b,c) du plan et le plan a alors pour équation ax+by+cz+e=0, tu trouves e en utilisant le fait que A appartient au plan.
Pour trouver n, tu peux te servir du produit vectoriel si tu connais, sinon tu te sert du fait que n scalaire vecteur directeur de d et de d'=0.
Ensuite tu vérifie que a*-1+b*2+c*3+e est non nul, donc que B n'appartient pas au plan.

[lilo]

Vecteur n (d) : (2;-4;0)
Vecteur n (d') : (0;1;3)
On a A(1;1;1) et B (-1;2;3)

Donc d'après ax+by+cz+d=0
on a 2*-1+2*-4+3*0= -10
et 0*-1+1*-4+3*3=5

Donc B n'appartient pas à ce plan (d) et (d')
Mais je suis pas très sûre

[The Void]

Vecteur n (d) : (2;-4;0)
Vecteur n (d') : (0;1;3)
On a A(1;1;1) et B (-1;2;3)

Donc d'après ax+by+cz+d=0
on a 2*-1+2*-4+3*0= -10
et 0*-1+1*-4+3*3=5

Donc B n'appartient pas à ce plan (d) et (d')
Mais je suis pas très sûre

En fait, non.
Le plus pratique est de chercher un vecteur normal au plan, et pas à chacune des deux droites.
De plus quand tu dit Vecteur n (d) : (2;-4;0), Vecteur n (d') : (0;1;3) ce sont des vecteurs directeurs et pas normaux.
Enfin une équation paramétrique (avec des "t") pour une droite correspond à deux équations cartésiennes (du type ax+by+cz+d=0...).
Donc pour trouver un vecteur normal au plan (car un plan est défini par un vecteur normal (alors qu'il en faut deux pour une droite)) il faut trouver un vecteur qui soit orthogonal à (2;-4;0) et (0;1;3).
Pour cela tu utilise le produit scalaire: tu nomme n(a,b,c) le vecteur normal recherché et par produit scalaire avec (2;-4;0) et (0;1;3), tu obtient:
a*2-4*b+0=0 et 0*a+1*b+3*c=0, tu choisis une inconnu puis tu trouves les 2 autres (par exemple tu dit que b=1 et tu cherches alors a et c (il ne faut pas que a=b=c=0)).
Ensuite ton plan aura pour équation ax+by+cz+e=0

[lilo]

J'ai trouvé pour a= 2 et c = -1/3,en prenant b=1,
donc 2*2-4*1+0=0
et 0*2+1*1+3*-1/3=0

Mais je comprends pas où ça peut me mener :s

[The Void]

Et bien tu as un vecteur normal du plan, donc tu connais son équation (2x+y-z/3+e=0) tu trouves e en sachant que les coordonnées de A doivent verifier cette équation, et il te suffit alors de remplacer x,y,z par les coordonnées de B pour voir si B appartient au plan (si c'est égal à 0, il appartient au plan, sinon il n'y appartient pas)

[lilo]

j'ai plutot pris c= 1
donc n(-6;-3;1)
son équation est -6x-3y+z+d=0 avec -6-3+1+d=0 donc d =8
le plan a pour équation -6x-3y+z+8=0
avec B : 6 - 6 +3 + 8 non nul, B n'y est pas.

[lilo]

J'ai un problème pour calcuer f(t),comment s'y prendre?

[The Void]

Si O(x,y,z) et O'(x',y',z') alors OO' =

Tu peux choisir de noter les coordonnées de M(x,y,z).