44..4 divisible par 1996?

[Borissou]

Soit A=4.....4 (un nombre avec que des 4; ex: 44444)
Chercher un A tel que A soit divisible par 1996

Voici un problème posé par mon prof de maths (je suis en seconde :p ), on peut apparemment demander l'aide de qui on veut, il n'est pas à la portée du commun des mortels
Mais, j'ai toute confiance en cette communauté ^^

Bon courage! =)

[Clembou]

Soit A=4.....4 (un nombre avec que des 4; ex: 44444)
Chercher un A tel que A soit divisible par 1996

Voici un problème posé par mon prof de maths (je suis en seconde :p ), on peut apparemment demander l'aide de qui on veut, il n'est pas à la portée du commun des mortels
Mais, j'ai toute confiance en cette communauté ^^

Bon courage! =)

On peut résoudre ça par les congruences en décomposant A avec des puissances de 10 :id:

[ffpower]

En seconde,ca semble chaud quand meme lol(c est un oral d ulm je crois,je l avais dans un des cassini "oraux x-ens")

[Clembou]

En seconde,ca semble chaud quand meme lol(c est un oral d ulm je crois,je l avais dans un des cassini "oraux x-ens")

Ah pardon ! J'avais pas vu qu'il était en seconde :doh:

[Borissou]

Je vous rassure ce n'est pas du programme, juste un probleme posé par le prof pour hum... calmer la classe xD

[_-Gaara-_]

Cela devrait se faire par programmation non ? :hein: xD

[ffpower]

Si tu tiens vraiment aune reponse:A est divisible par 1996 si et seulement si le nb de 4 dans A est un multiple de 498.La methode n est pas ultra compliquée mais pas niveau seconde..

[Imod]

En fait il "suffit" de trouver ( fois le chiffre 1 ) et ( fois le chiffre 1 ) ayant le même reste dans la division par 499 . Alors si , vérifie la condition :zen:

Imod

[_-Gaara-_]

J'en suis arrivé à la même conclusion, j'ai fais un programme pour trouver les restes dans les divisions par 499 mais c'est pourri çà ne marche pas >.<

=)

[Imod]

On doit pouvoir s'en sortir en remarquant ( sans le dire ) que .

Imod

[ffpower]

Si le but es juste d en trouver un,il suffit de connaitre Fermat,qui peut eventuellement se montrer en seconde:si p est premier,par reccurence sur a on montre que p divise a^p-a(faut juste connaitre la formule du binome et le fait que C(p,k) est divisible par p).Apres il suffit d utiliser le resultat avec p=499 et a=10.Si on veut toutes les solutions,il faut par contre savoir que (Z/pZ)* est cyclique,ce qui est un peu plus compliqué.

[Patastronch]

J'en suis arrivé à la même conclusion, j'ai fais un programme pour trouver les restes dans les divisions par 499 mais c'est pourri çà ne marche pas >.<

=)

NOrmal, les nombres manipulés sont trop grand. Un entier en informatique c'est codé sur un petit nombre d'octet (4 générallement). Si tu veux manipuler des grands nombres il va te falloir utiliser des librairies fait pour ou répartir l'ecriture ton entier sur plusieurs entier et adapter tes calculs en conséquence.

[Borissou]

Voici la réponse :

- 1996 = 499 * 4, 499 est premier
- 4...4 = 1...1 * 4. En simplifiant par 4 on cherche donc 1..1 = k * 449, ou encore 1..1 = 0 (mod 499)
- 1...1 = 1 + 10 + 100 + ... + 10^(n-1) = (10^n - 1) / 9, où n est le nombre de chiffres du nombre
- On cherche donc n tel que (10^n - 1) / 9 = 0 (mod 499), ou encore 10^n - 1 = 0 (mod 499)
- D'après le petit théorème de Fermat, 498 convient

[ffpower]

c est ca^^