Intégrales

[Emaly]

Bonjour,

je dois calculer deux intégrales:
intégrale de 0 à pi de ((x^2)*sin(2n+1)x)/sinx)dx
et intégrale de 0 à pi de ((x^4)*sin((2n+1)x)/sinx)dx

j'ai essayé de faire une intégration par partie mais je n'y arrive pas.

Est-ce que quelqu'un aurait une idée?

[mathelot]

bonjour,

il suffit de s'inspirer du noyau de Dirichlet:

Avec la formule d'Euler:



le facteur de droite est donc la somme des (2n+1) premiers termes d'une suite géométrique. L'intégrale se linéarise en:



Il y a le terme central qui donne
et l'on regroupe les autres termes conjugués deux à deux.

Cordialement,

[mathelot]

d'où:

en regroupant les termes conjugués:




sauf erreur de calcul, ça donne



d'où

[Emaly]

Merci beaucoup!
Je n'avais pas penser à ça!