bonjour
On cherche à montrer que à x fixé, la somme pour k allant de (n+1) à (n+p) des cos(kwx) est majorée
On a cos(kwx) = Re exp(ikwx)
On va donc essayer de majorer la somme pour k allant de (n+1) à (n+p) des exp(ikwx)
Et là, mon prof a fait un truc de ce genre :
|exp(i(n+1)wx) * (1-exp(ipwx))/(1-exp(ipwx)| = 2/ (2|sinwx/2|) = 1/ |sin(wx/2)| = M (j'appele cette égalité E)
et ensuite, il conclu : somme des cos(nwx) < M
Alors là je ne comprends pas :
* au départ, on avait une somme d'exponentielles, il prend qu'un seul terme (n+1) qu'il trouve égal à M et il en déduit que la somme est inférieur à M ??? C'est bizar
* dans E, je ne comprends pas comment on passe la première égalité :
je sais que 1-exp(iwx)=exp(iwx/2)(-2isin(wx/2))
mais après, il me manque quelque chose pour comprendre...
Merci de m'aider...
Théorème d'Abel
2 messages
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par danskala » 08 Nov 2005, 20:43
Salut Atak,
on a^k=\bigsum_{k=n+1}^{n+p}q^k)
avec 
Ensuite il faut se rappeller que la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique est
(pour r<s)
Je retiens cette formule comme ceci:![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$\textrm "1er terme de la somme"\times \frac{1-q^{"le nombre de termes"}}{1-q})
Appliquée à ta formule cela donne
+1}}{1-q}=e^{i(n+1)wx}\times \frac{1-e^{ipwx}}{1-e^{iwx}})
Ensuite, pour rendre le dénominateur réel, on fait:
wx}\times \frac{1-e^{ipwx}}{1-e^{iwx}}=e^{i(n+1)wx}\times \frac{e^{-iwx/2}\times (1-e^{ipwx})}{e^{-iwx/2}\times(1-e^{iwx})}=e^{i(n+1)wx}\times \frac{e^{-iwx/2}\times (1-e^{ipwx})}{e^{-iwx/2}-e^{iwx/2}})
Or,)
(rappelle-toi la formule connue
)
doncwx}\times \frac{e^{-iwx/2}\times (1-e^{ipwx})}{-2isin(wx/2)})
En prenant le module de tout ça, on arrive à
wx}\| \times \frac{\|e^{-iwx/2}\|\times \|1-e^{ipwx}\|}{\|-2isin(wx/2)\|}=\frac{\|1-e^{ipwx}\|}{2\|sin(wx/2)\|})
Ensuite, on se sert de l'inégalité
d'où 
Finalement,\|}=\frac{1}{\|sin(wx/2)\|})
Voilà, sauf erreur de calcul...
@+
:happy2:
on a
Ensuite il faut se rappeller que la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique est
Je retiens cette formule comme ceci:
Appliquée à ta formule cela donne
Ensuite, pour rendre le dénominateur réel, on fait:
Or,
(rappelle-toi la formule connue
donc
En prenant le module de tout ça, on arrive à
Ensuite, on se sert de l'inégalité
Finalement,
Voilà, sauf erreur de calcul...
@+
:happy2:
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