Intégration

[bidoune]

Bonjour,
Voici un exercice que je n'arrive pas très bien à résoudre.

On va étudier la fonction F(x)=intégrale de x à 2x de 1/(t sqrt(t²+1)) dt
(sans chercher de primitive)

a. Montrer que F est bien définie sur R*
b. Montrer qu'elle est paire
c. Montrer que F est dérivable, calculer F' et donner son signe
d. Montrer que lim F(x) = ln(2) en + l'infini (transformer ln(2) en une intégrale)
e. Tracer la courbe représentative de F


Pour a. faut - il montrer que 1/(t sqrt(t²+1)) est définie sur R* ?
J'ai réussi le b.
Pour c. faut - il montrer que 1/(t sqrt(t²+1)) est dérivable?

Si vous avez une petite idée... Merci d'avance!

[Joker62]

Hello :-)

Pour a), il faut montrer que pour tout x différent de 0, l'intégrale a un sens
Pour b) prouver que F(-x) = F(x)
Pour c), ne pas oublier le théorème fondamental du calcul intégrale

[bidoune]

Je ne vois pas comment montrer que pour tout x différent de 0, l'intégrale a un sens.
Pour c. normalement F'(x)= 1/(t sqrt(t²+1)) donc F est dérivable. Mais il faut d'abord montrer qu'elle est dérivable puis calculer F' :hum:

[arnaud88]

Alors attention, tu écris F'(x) avec dedans du t au lieu de mettre du x. t est simplement une variable d'intégration qui varie entre x et 2x.
En fait, la formule auquel fait référence notre ami est sûrement :

pour F(x)=integrale( f(t), pour t variant entre u(x) et v(x))
avec u et v de classe C1,
alors F'(x)=f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x)

[Mohamed Taoufiq]

bonjour ,
d. tu dois faire un changement de variable : u=sqr(1/(t²+1)) => t=sqr((1/u²)-1)
...=> F(x)=l'integ.(1/1-u²)du=(1/2)[ln((1+u)/(u-1))]de (sqr(1/(x²+1))) à (sqr(1/(4x²+1))) et à vous de continuer
si ça ne marche encadrez la avec ... et l'int de (1/t)dt :ptdr:

[bidoune]

Merci beaucoup pour votre aide!
Je vais essayer de résoudre tout ça...! :marteau:

[JJa]

Pour information (ce n'est pas la réponse directe à l'énoncé des questions):
Une primitive de 1/(t sqrt(t²+1)) est :
(1/2)ln(x²)-ln(1+sqrt(t²+1))
ou (1/2)ln(x²) = ln(abs(x))

[bidoune]

Je n'ai pas dans mon cours la formule donnée par arnaud88 : F'(x)=f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x)

Par contre j'ai la proposition suivante:
Soit f:I -> R continue et x0 appartient à I
Posons H : I -> R
x -> int entre x0 et x de f(t) dt
appelée intégrale fonction de sa borne sup
Alors H est dérivable et H'=f


Alors est ce que je peux dire que ma fonction f:R* -> R est continue et x appartient a R* donc F est dérivable et F'=f ???

[Maxmau]

Je n'ai pas dans mon cours la formule donnée par arnaud88 : F'(x)=f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x)

Par contre j'ai la proposition suivante:
Soit f:I -> R continue et x0 appartient à I
Posons H : I -> R
x -> int entre x0 et x de f(t) dt
appelée intégrale fonction de sa borne sup
Alors H est dérivable et H'=f


Alors est ce que je peux dire que ma fonction f:R* -> R est continue et x appartient a R* donc F est dérivable et F'=f ???

NON!

Bj

Je pose f(t) = 1/(t sqrt(1+t²))

Pour x > 0 pose G(x) = Integ( 1 à x ; f(t)dt )
D’après ta proposition : G’(x) = f(x)
D’autre part F(x) = G(2x) – G(x) (relation de Chasles pour les integrales)
Tu n’as plus qu’à dériver cette égalité

[nico1979]

Bidoune, j'ai l'impression de voir les exos d'un DNS que je connais...