Question d'algèbre bilinéaire

[sum87]

bonjour, je voudrais juste qu' on me dise la différence entre un espace quadratique et euclidien, j' ai crus comprendre que c'est que pour une forme quadratique q de E² dans R d'un esp quadratique, q est non dégénérée, et sur un euclidien elle est en plus >=0 si x différent de 0, et =0 si x=0.

[arnaud88]

Un espace euclidien est un R-espace vectoriel de dimension finie sur lequel est définie une forme bilinéaire symétrique définie positive (c'est un produit scalaire).

Un espace quadratique est un espace vectoriel (pas forcément R-espace vectoriel et pas forcément de dimension finie) sur lequel est définie une forme bilinéaire symétrique non dégénérée (pas forcément positive).

Remarquons qu'une forme bilinéaire symétrique non dégénérée positive est strictement positive (c'est un produit scalaire).

D'autre part, une forme quadratique est définie sur E, pas sur E², contrairement à une forme bilinéaire.

q forme quadratique positive : q(x)>=0
q forme quadratique définie : q(x)=0 => x=0