Les suites

[zilalo]

Bonjour,

J'ai un petit exo sur lequel je bloque un peu.

Enoncé :

ABCD est un carré de coté 1. La construction géométrique permet d'imaginer la définition d'une suite de carrés.



1) On appelle ln le périmetre du n-ième carré, en convenant que l1 = 4 (périmetre de ABCD).
Quelle est la nature de la suite ln ?
Déterminer le terme général de ln.

2) On appelle an l'aire du n-ième carré, en convenant que a1 = 1
Quelle est la nature de la suite (an) ?
Déterminer le terme general de (an) ?

3) En utilisant la figure ci-dessus, ARCHIMEDE a calculé la somme infinie :
(1/4) + ( 1/4)² + (1/4)^3 + .... = 1/3
En effet, on "peut voir" sur la figure l'égalité :
3x1/4 + 3x(1/4)² + 3x(1/4)^3 + .... = 1
Expliquer cette "façon de voir".


Mes réponses :

1) Pour moi le terme général de la suite est :
ln = l(n-1)/2
Par contre je ne connais pas sa nature

2) terme général : an = a(n-1)/4
Je connais toujours pas sa nature.

3) Je sais pas trop comment expliquer le phénomène.


Voila, si vous pouvez me dire si c'est juste et me donner des pistes pour les autres questions.

Merci d'avance

[rene38]

Bonjour

Quand on te demande de déterminer le terme général d'une suite, c'est donner une expression permettant de calculer simplement un terme de la suite. Ce n'est pas le cas avec tes réponses : ln = l(n-1)/2 suppose de connaître l(n-1) pour calculer ln. Alors, si n=2008 (par exemple) ...

En revanche tes 2 réponses permettent immédiatement de donner la nature des suites i et a (arithmétique ? géométrique ? autre ? ....)

[zilalo]

Si mes réponses sont fausses, je ne vois pas ce que sa peut être.

Je pense que pour la question 1), la nature de la suite est géométrique.

Pourrait tu m'indiquer quel est le terme général de la suite.

Merci

[rene38]

ln = l(n-1)/2 (je préfèrerais ) te donne la raison de cette suite qui est bien géométrique.
Tu connais sa raison et son premier terme donc ...

[zilalo]

Ok.

Donc j'ai fait ça, si tu peut me dire si c'est juste :

ln = l1 x q^n-1
= 1 x (1/2)^n-1
= (1/2)^n-1


Autrement pour ma question 2, ceci est juste ???
an = a(n-1)/4

Merci de me répondre

[rene38]

ln = l1 x q^n-1
= 1 x (1/2)^n-1

L'énoncé dit : "en convenant que l1 = 4"

Autrement pour ma question 2, ceci est juste ???
an = a(n-1)/4

Oui, avec les mêmes remarques que pour le périmètre.

[zilalo]

Oui merci.
Donc pour la question 1, sa nous donne 2^n-1

Question 2 :

La suite an est géométrique.
an+1 = 1/4an

an = a1 x q^n-1
= 1 x (1/4)^n-1
= (1/4)^n-1

Question 3 :

Archimède a calculé la somme infini des aires des carrés.
Son calcul est égale a 1/3 car c'est ce qu'on enlève à l'aire du carré précédent.

Ensuite le deuxième calcul, il multiplie par 3 l'aire pour avoir l'aire du grand carré complet.


Mais je n'arrive pas a l'expliquer clairement.
Si tu pouvais me donner un coup de main.

Merci

[rene38]

Donc pour la question 1, sa nous donne 2^n-1

Non :


3) Il faut partir de ce qu'"on voit" : 3x1/4 + 3x(1/4)² + 3x(1/4)^3 + ....
c'est bien l'aire de ce qu'on "enlève" et à la limite, on enlève tout soit 1
Donc en écrivant que
3x1/4 + 3x(1/4)² + 3x(1/4)^3 + .... = 3(..............) = 1
on obtient (1/4) + ( 1/4)² + (1/4)^3 + .... = 1/3

[zilalo]

Ok, c'est super sympa de ta part !

Merci pour ton aide !