Bases

[waterproof]

bonjour

en fait, j'ai des problèmes pour déterminer les bases de certaines structures alors que ça ne devrait pas poser problème :

par exemple, quelle est une base du plan d'équation x+y+z=0? On est dans un espace de dimension 3, avec pour base orthonormée (i,j,k)

merci

[Monsieur23]

Bonjour.

Ton plan est normal au vecteur (1,1,1).

Il te suffit donc de trouver deux vecteurs non colinéaires, orthogonaux à (1,1,1).

[waterproof]

ok merci pour ton aide

[waterproof]

cependant je n'arrive pas à résoudre mon problème :

On a une base (i,j,k) orthonormée de E et on veut la matrice de la projection orthogonale sur le plan P d'équation x+y+z=0

On peut donc dire par exemple que le vecteur t=i+j+k est orthogonal à P, si on note D la droite engendrée par ce vecteur,

donc avec , mais je n'arrive pas à m'en sortir...
comment calculer (x/t) ? je prend quoi pour x?

merci

[Nightmare]

Salut :happy3:

Simplement :

x=-y-z

Soit (x,y,z) dans ton plan, il s'écrit y(-1,1,0)+z(-1,0,1)
Les vecteurs (-1,1,0) et (-1,0,1) forment une base de ton hyperplan.

[Monsieur23]

Tu veux une matrice, donc tu dois calculer les images de vecteurs de base ( i j et k en l'occurrence ).

[waterproof]

oui mais en fait mon problème c'est :

avec P la projection sur le plan P par exemple

Donc la il suffit de calculer : avec et comme tu les as définis, mais après comment je calcule ça? je pose et je calcule? Comment je remonte ensuite à la matrice?

[Monsieur23]

Attention, c'est la somme des (x / ek) / ||ek||².

Sinon, là c'est bon, maintenant, tu calcules ça pour x=i, x=j et x=k.

[waterproof]

Attention, c'est la somme des (x / ek) / ||ek||².

Sinon, là c'est bon, maintenant, tu calcules ça pour x=i, x=j et x=k.

donc par exemple pour la première colonne, ça donne :




or donc , idem pour , et donc on a en remplaçant :
et donc la première colonne est

c'est ça?

[Monsieur23]

Oué ! C'est ça !

[waterproof]

ok, mais quand même quelque chose qui me gène :

on peut aussi raisonner par rapport à la projection sur D, droite orthogonale à P, de vecteur directeur et donc on aurait l'expression de projection orthogonale à P (celle que l'on cherche) telle que :


donc

donc la première colonne serait c'est pas la même chose!

[waterproof]

donc par exemple pour la première colonne, ça donne :




or donc , idem pour , et donc on a en remplaçant :
et donc la première colonne est

c'est ça?

et ici d'ailleurs c'est pas au lieu de ?

bon j'ai compris le problème, je me suis trompé dans les vecteurs on obtient autre chose donc

[waterproof]

quelqu'un a une explication pourquoi je ne trouve pas la même matrice suivant que je raisonne avec la projection par rapport au plan ou celle par rapport à la droite (Id-projection sur la droite) ?