Exercice 1ere S Fonctions Diverses

[Sop57]

Bonjours a tous
Je vous explique mon problème. Pour la rentrée des classes notre professeurs nous a donné 2 exercices a faire. J'ai complètement terminer le premier mais je bloque vers la moitié du 2e.

Le voici.

Un triangle ABC isocèle, de sommet principal A est inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 1. H est le pied de la hauteur issue de A
Soit alpha la mesure en radians de l'angle HOB.
On suppose 0<alpha<pi/2

1)a) Exprimer BC et AH en fonction de alpha
b) En déduire, en fonction de alpha , l'aire du triangle ABC.

2) On considère la fonction f définie sur [0 ; pi/2] par f(alpha) = sin alpha (1+cos alpha)

Calculer la dérivée de f' de f et montrer que, pour tout réel alpha appartenant à [0 ; pi/2], on a : f'(alpha) = 2cos²alpha + cos alpha -1

3)a) Vérifié l'égalité: 2cos²alpha + cos alpha-1 = (2cos alpha -1)(cos alpha +1)

b) Determiner le signe de cos alpha -1/2 suivant les valeurs de alpha, pour alpha appartenant à [0;pi/2]

c) En déduire le signe de f'(a) suivant les valeurs de alpha (alpha appartenant à [0 ; pi/2]

d) Etablir le tableau de variation de la fonction f

4) Montrer qu'il existe une valeur de alpha, que l'on déterminera, pour laquelle l'aire du triangle ABC est maximale. Préciser ce maximum
Quelle est alors la nature du triangle ABC ?


Donc voila,J'ai reussi a répondre aux question que j'ai mise en bleu.

Mon problème pour le moment se situe a la question 2

J'ai reussi a calculer la dérivée de f qui donne cos alpha ( 1 + cos alpha) + sin alpha ( - sin alpha)

En developpant cela donne cos alpha + cos²alpha - sin² alpha

Mais je n'arrive pas trouvé le résultat demandé c'est a dire 2cos²alpha + cos alpha -1
J'ai essayer certaine formule de duplication mais cela ne m'avance a rien
Avez vous une idée de comment procéder ?

[fonfon]

salut,

tu dois avoir



or et

[fatal_error]

Edit, ma méthode est différente n'embrouillons pas les choses!désolé

[Sop57]

Effectivement c'est une formule de duplication
Merci depuis le temps que j'essayais de trouver :++:

Maintenant pour la 3)b) Comment dois je procéder ? Ne faut-il pas que je trouve quand cos alpha -1/2 est nul ? c'est a dire lorque cos alpha = 1/2

[fonfon]

ben il faut que tu cherches sur [0,pi/2] comment est le signe de suivant les valeurs de alpha donc comment est le signe sur [0,pi/3[ et sur ]pi/3,pi/2] (ps : cos(pi/3)=1/2)

[Sop57]

Donc je calcule :
Cos ( 0) -1/2 = 1 - 1/2 = 1/2 (positif)
Cos ( pi/3) - 1/2 = 1/2 - 1/2 = 0

Donc sur [0, pi/3] cos alpha -1/2 est positif

Ensuite pour l'intervalle ] pi/3 ; pi/2 ]
Cos ( pi/3) - 1/2 = 1/2 - 1/2 = 0
Cos (pi/2) -1/2 = 0 - 1/2 = -1/2 (négatif )

Donc sur ] pi/3 ; pi/2 ] cos alpha -1/2 est négatif

C'est ça ?

[fonfon]

tu pourrais ecrire plutôt s'annule pour or cos est >=0 et decroissant sur [0,pi/2] donc sur [0,pi/3[ et sur ]pi/3,pi/2]

[Sop57]

Oui donc les résultats étaient juste c'est seulement ma façon de présenter qui n'était pas top
Je te remerci pour ça.

Sinon je pense que l'on peut repondre a la question c et d en meme temps
On calcule tout d'abord les solutions pour lesquelles la dérivé s'annule donc
2cos² alpha + cos alpha -1
J'utilise delta b²-4ac = 9
x1 = 1 x2 = -1
Pour la dérivée le signe est du sens contraire de a à l'interieure des racines.


Alpha____-infini_____-1_______0______pi/3_______pi/2______1_____ +infini

F'(alpha)_________+______-_______-___0_____-________-______+

F(alpha)____//////////// \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ /////////////


////// = croissante
\\\\\\ = décroissance

C'est juste non ?

[fonfon]

re,

on te demande d'etudier le signe de f'(alpha) sur [0,pi/2[ donc.... (revoit ton tableau)

d'apres ça qui est l'expression de f'(alpha)

3)a) Vérifié l'égalité: 2cos²alpha + cos alpha-1 = (2cos alpha -1)(cos alpha +1)

et la question

b) Determiner le signe de cos alpha -1/2 suivant les valeurs de alpha, pour alpha appartenant à [0;pi/2]

et le fait que cos(alpha)+1>0 sur [0,pi/2[ tu deduis facilement le signe de f'(x) et donc les variations de f sur [0,pi/2[

ça va ou pas

[Sop57]

Pour mon tableau je sais que je dois le faire commencer à 0 et le terminer à pi/2 et non -infini +infini.

Par contre ca ne va pas pour la suite. Je ne comprend pas comment tu veux que je trouve le signe de f'(alpha).

Ca ne va pas si j'utilise le second degrès puis que je dise que c'est le signe contraire de a à l'interieur des racines ?

Tout ce que je sais des questions précédente c'est que cos alpha -1/2 est positif lorsque alpha appartient a [0;pi/3] et négatif pour ]pi/3; pi/2]

[Sop57]

Ah si je crois comprendre ce que tu voulais dire

(2cos alpha -1)(cos alpha +1)

On sait que cos alpha +1>0
Donc cos alpha >1

Donc Dans (2cos alpha -1) : cos alpha >1
2cos alpha >2
2cos alpha-1 >2-1

Donc (2cos alpha -1)(cos alpha +1) est positif
Mais que faire a partir de ça

[fonfon]

Pour mon tableau je sais que je dois le faire commencer à 0 et le terminer à pi/2 et non -infini +infini.

ça ok


ensuite avec

Tout ce que je sais des questions précédente c'est que cos alpha -1/2 est positif lorsque alpha appartient a [0;pi/3] et négatif pour ]pi/3; pi/2]

et le fait que :
et que sur [0,pi/2] tu ne vois toujours pas le signe de f'(x) sur [0,pi/2] ?

[fonfon]

Ah si je crois comprendre ce que tu voulais dire

(2cos alpha -1)(cos alpha +1)

On sait que cos alpha +1>0
Donc cos alpha >1

Donc Dans (2cos alpha -1) cos alpha >1 donc 2 cos alpha >2 tout ça -1 c'est toujours positif

Donc (2cos alpha -1)(cos alpha +1) est positif

non ,lis mon message avant celui-ci

[Sop57]

Désolé pour le temps de réponsé je me suis demandé pourquoi tu mettais un 1/2 tu as simplifier le 2 devant le cos ok

Sinon
cos(alpha)+1 > 0 d'accord pour ça
Et a partir de ça je devrais en déduire que la premiere parenthèse est aussi positive ?
Donc que f'(x) est positif sur [0;pi/2]

[fonfon]

oui c'est pareil mais tu peux ecrire

mais ça change rien au resultat

Sinon
cos(alpha)+1 > 0 d'accord pour ça
Et a partir de ça je devrais en déduire que la premiere parenthèse est aussi positive ?
Donc que f'(x) est positif sur [0;pi/2]

ca va pas

pour connaitre le signe de f' sur [0,pi/2] il suffit de connaitre le signe de 2cos(alpha)-1 car cos(alpha)+1> sur [0,pi/2] or 2cos(alpha)-1 s'annule pour alpha=pi/3 donc avec la question

b) Determiner le signe de cos alpha -1/2 suivant les valeurs de alpha, pour alpha appartenant à [0;pi/2]

tu sais que 2cos(alpha)-1>0 sur [0,pi/3[ et que 2cos(alpha)-10 sur [0,pi/3[ et f'(alpha)<0 sur ]pi/3,pi/2] donc f....

[Sop57]

Donc F est croissante sur [0;pi/3]
et F est décroissante sur ]pi/3;pi/2[

Mais là c'est facile puisque tu viens de me donner le signe de f'(alpha) que je n'arrivais pas trouver depuis tout à l'heure

C'est bien la réponsé là que tu attendais au moin ?

[fonfon]

oui, c'est cette reponse là que j'attendais mais comme je voyais que tu t'emmelais un peu les pinceaux avec le signe de la dérivée...
il faut toujours faire le rapprochement entre les questions dans ce genre d'exo si on t'a demandé d'etudier le signe de cos(alpha)-1/2 c'est que ça va servir pour la suite
donc là plus qu'à faire ton tableau de variation et repondre à la question 4) qui n'est pas si difficile que ça

[Sop57]

Ok donc voila le résultat

alpha_______0_____________pi/3____________pi/2

F'(alpha)___________+_______0_______-_______

F(alpha)_____/////////////////// \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Mille merci pour ton aide

Maintenant pour la question 4. Par hasard ne faudrait-il pas se servir du tableau de variation et regarder la où il y a un extremum?
C'est a dire pi/3

De plus j'avais calculer l'aire du triangle dans la question 1)b) et j'avais trouvé sin(alpha)+sin(alpha)cos(alpha)
Donc pour Préciser ce maximum je remplace alpha ce qui fait :

(racine de 3)/2 + (racine de3/2)/2 = 1/2 de racine de 3 + 1/4 de racine de 3

[fonfon]

Maintenant pour la question 4. Par hasard ne faudrait-il pas se servir du tableau de variation et regarder la où il y a un extremum?
C'est a dire pi/3

oui,tu peux te servir du tableau mais tu n'as pas vu quelque chose comme si f a un extremum pour alpha alors donc oui pour alpha=pi/3

apres pour preciser ce maximum il faut pas utiliser ce qui suit

De plus j'avais calculer l'aire du triangle dans la question 1)b) et j'avais trouvé sin(alpha)+sin(alpha)cos(alpha)
Donc pour Préciser ce maximum je remplace alpha ce qui fait :

(racine de 3)/2 + (racine de3/2)/2 = 1/2 de racine de 3 + 1/4 de racine de 3

mais tu dis simplement que f passe par un maximum local pour dont la valeur est je te laisse le calculer (apres tu peux remplacer dans l'aire du triangle si tu veux)

ensuite que peux-tu dire d'un triangle isocele qui a un angle de 60°?

[Sop57]

Oui on a vu que chaque endroit où il y a un extremum c'est que la dérivé s'annule.

Donc j'ai calculer f(pi/3) cela donne (3racine de 3)/4

Il faut que je remplace alpha dans sin(alpha)+sin(alpha)cos(alpha) par pi/3 ou (3 racine de 3 ) /4 ?

Et pour un triangle isocèle qui a un angle de 60° c'est un isocèle c'est vrai mais surtout un équilatéral puisque la somme de ses angles doit être égal a 180° donc 60+60 = 120 180-120 = 60 encore pr le 3e angle