Intersection de courbes

[Pimous]

Bonjour

Je bloque à la toute dernière question mais toutes les questions sont liés entre elles :

1) soit f(x) = (x² -5x +7) / (x-2) avec Df = R - {2}
On considère l'équation (E) : x² - (m+5)x + (7+2m) = 0

a) Soit (dm) la droite d'équation y=m.
Démontrer que les solutions de l'équations (E) sont les abscisses des points d'intersection de (Cf) et (dm).

Réponse :
m = (x² -5x +7) / (x-2) -> x² - (m+5)x + (7+2m) = 0

b)Déterminer graphiquement, selon les valeurs du paramètre m, le nombre de solutions de l'équation (E).

Réponse :
si m 1 alors 2 solutions

c) Etudier le signe du discriminent de l'équation (E), puis retrouver par le calcul les résultats précédents.

Réponse :
Le discriminent est m²+2m-3

m > 0 quand m € ]-infini ; -3[ U ]1 ; +infini[
m < 0 quand m € ]-3 ; 1[
m = 0 quand m = -3 et m = 1

2) Soit (F) l'équation : cos(2t) - 2(m+5)cos(t) + (15+4m) = 0 avec m € R.

a) On suppose que m = -19/6. Résoudre l'équation (F) dans [0;2;)].

Réponse :
cos(2t) = 2cos²(t) - 1

d'ou 2cos²(t) - 2(m+5)cos(t) + (14+4m) = 0

Remplacons cos(t) par x on obtient :

2x² - 2(m+5)x + (14+4m) = 0
x² - (m+5)x + (7+2m) = 0 (Simplification par 2)

On remplace m par -19/6

x² - 11/6x + 2/3 = 0

Donc x1 = 1/2 et x2 = 4/3

or -1 < cos(t) < 1

donc la seule solution est x1 = 1/2 donc t = /3

b) Comment faut-il choisir le paramètre m pour que l'équation (F) admette exactement deux solutions dans [0;2;)].

Étant donné que l'équation (E) et l'équation sont (F) sont "semblables" (par le changement de variable) on peux garder le calcul du discriminant.
Cependant pour que m admette 2 solution il faut que -1 < x < 1 et c'est là que je n'arrive pas à démontrer.

Merci de votre aide !

[uztop]

Bonjour,

alors, dans ta derniere reponse, il y a une petite erreur:
2x² - 2(m+5)x + (14+4m) = 0
x² - (m+5)x + (14+4m) = 0 (Simplification par 2)

La simplification par 2 est fausse, ce qui fausse bien sur le resultat final. Tout le reste est juste je crois.

Pour avoir deux solutions, tu dois savoir que cos(t) = x a deux solutions si -1Ici, on veut que l'equation ait deux solutions en tout. Quelle est donc la condition sur x ?

[Pimous]

Bonjour,

J'ai corrigé ma faute, c'était une erreur de recopiage donc le resultat est quand même vrai.

La condtition c'est que -1 < x < 1 puisque x = cos(t) ?

Pimous

[uztop]

j'ai pas refait le calcul. L'equation x² - 11/6x + 4/3 = 0 n'est pas onne (c'est 2/3 a la fin).
En fait, comme on veut deux solutions (et pas plus), il faut qu'il y ait un seul x qui soit entre -1 et 1

[Pimous]

Autant pour moi j'ai encore fait un erreur de recopiage (je corrige).

Quant tu dis un seul x tu parles de solutions d'équation ou de paramètre ? Je ne vois pas trop :briques:

Pimous

[uztop]

désolé, je n'ai pas pu me connecter pendant l'après midi.
En fait, tu as posé x=cos(t), ce qui te donne l'équation
x² - (m+5)x + (7+2m) =0
Tu trouves donc des valeurs pour x; on ne peut trouver des valeurs correspondantes pour t que si x est compris entre -1 et 1:
si -1 x=1 ou x=-1, x=cos(t) a une solution
sinon, x=cos(t) n'a pas de solution.

Tu veux que ton équation 2cos²(t) - 2(m+5)cos(t) + (14+4m) = 0 ait deux solutions. Quelle est la condition sur x pour cela ?

[Pimous]

Il faut la même condition que dans l'équation précédente c'est-à-dire -1
Pimous