Géométrie

[cece71]

Voila,j'ai un petit exercice a faire...J'en est fait une partie mais il me reste la fin...
Dans un espace euclidien orienté de dimension 3, on considère l'endomorphisme u dont la matrice dans une base orthornormée directe (e1,e2,e3) est
A:=matrix(3,3,[[2/3,1/3,2/3],[-2/3,2/3,1/3],[-1/3,-2/3,2/3]]) (notation en ligne)
Montrer que u est une rotation dont on précisera l'axe et l'angle.

J'ai montré que u est un endomorphisme en montrant que dét(A)=1
Après j'ai résolu un système : A*V3=V3
et je trouve (x y z)^t=z(1 -1 1)^t
Mais je suis perdue pour la suite...
Merci de m'aider

[Maxmau]

Bj
Vérifie que A est orthogonale de determinant = 1 (ce dernier point est fait)
tu peux conclure alors que u est une rotation
un vecteur fixe dirige l'axe de rotation (fait)
pour l'angle ;) utilise le fait que la trace de u (donc aussi de A)
est égale à 1 + 2cos;)
ou alors transforme un vecteur orthogonal à l’axe
Attention : si on prend ;) entre o et ;), c’est l’angle de la rotation autour de l’axe dirigé par un vecteur N tq la base X, u(X) , N ( X orthogonal à l’axe) soit directe.

[cece71]

Ok merci!Mais est ce que tu aurais une démonstration alors pour montrer que la trace de A est égale a 1+2cos téta??
Je cherche cette démonstration mais je ne la trouve pas?
Merci

[Dyo]

Car la matrice d'une rotation 3x3 est de la forme



?

[cece71]

Oui mais justement je cherche en fait a montrer pourquoi la matrice de rotation est celle ci?

[Dyo]

Tu as montré que det(A)=1.

Montre que A est orthogonale () et tu en déduis que c'est une matrice de rotation.

L'ensemble des matrices orthogonales de déterminant 1 forme un sous-groupe du groupe orthogonal, appelé groupe spécial orthogonal et noté . Il s'interprète de manière géométrique comme étant l'ensemble des rotations de l'espace euclidien \R^n. Ces matrices sont également appelées orthogonales directes.

Ensuite tu as trois formes possibles pour ta matrice...

[Maxmau]

Oui mais justement je cherche en fait a montrer pourquoi la matrice de rotation est celle ci?

Je note la rotation
Tu choisis une Base Orthonormée Directe (I , J , K)
Où le vecteur K dirige l’axe de rotation
La restriction de au plan (I,J) ( ce plan est stable par et orienté de telle sorte que la base (I,J) soit une BOD) est une rotation plane d’angle
La matrice de cette rotation plane a pour première colonne cos;) , sin;) et pour deuxième colonne -sin;) , cos;) (c’est classique)
La matrice de sera bien celle précisée précédemment
et sa trace est 1 + 2cos;)