EV / bases et equations

[ericub]

salut
j'aurais besoin d'aide pour etre sur de pas m'embrouiller dans les notions :mur:

si un ensemble de vecteurs forment une base alors ils sont générateurs et libres.

maintenant si on trouve que des vecteurs ne sont pas générateurs ca signifie qu'on peut donner une equation de l'espace qu'ils engendrent ?

la question que je me pose : si on nous donne l'equation d'un espace vectoriel , on ne peut donc pas en determiner une base ?

j'ai bon ou je suis totalement a l'ouest :help:

merci pour votre aide :id:

[ericub]

bon bah ya du boulot alors... :marteau:

je suis d'accord avec toi mais je comprends pas du tout pourquoi...!

[ericub]

salut
nouvelle question :
si on nous donne les vecteurs qui composent une base d'un ev, on ne peut pas (toujours ou jamais?) donner une equation de cet ev ?

ex la base de R3: (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) on ne peut pas donner d'eq ?


:stupid_in

[Kriegger]

Je vais essayer d'expliciter ce que tu as dit:

"maintenant si on trouve que des vecteurs ne sont pas générateurs ca signifie qu'on peut donner une equation de l'espace qu'ils engendrent ?"

Si ces vecteurs (e1, ... ep ) ne sont pas générateurs de ton sev qu'on nommera F, cela veut dire qu'il existe un vecteur x de F tel que x ne soit pas dans vect(e1, ... , ep).
Dans ton cours, tu as dû voir la notion de famille génératrice minimale et de famille libre maximale: Si Dim F = n , alors si p ( le cardinal de ta famille ) est inférieur à n, alors ta famille ne pourra pas être génératrice, elle pourra cependant être libre ( être libre voulant dire en français qu'aucun vecteur est inutile : si tu as e3 qui peut s'ecrire en fonction des e1, e2 , e4 ...etc, alors la famille e1, ... , ep n'est pas libre ). si p>n, ta famille sera donc forcément libre.
Je reviens sur ta question... si ta famille de vecteur est libre, c'est une base d'un sev. Pas forcément celui que tu voulais mais au moins celle d'un autre. Plus généralement, une famille de vecteur engendre forcément un sev. C'est d'ailleurs pour cela que vect( e1, ... , ep ) est un sev par définition.

"la question que je me pose : si on nous donne l'equation d'un espace vectoriel , on ne peut donc pas en determiner une base ?"

Si t'as l'équation d un sev, ( une seule équation ? ), supposant qu'on soit dans un e.v de dimension n, alors ton sev sera de dimension n-1. En gros tes solutions pourront toutes s'exprimer à partir de n-1 vecteurs.

[Kriegger]

salut
nouvelle question :
si on nous donne les vecteurs qui composent une base d'un ev, on ne peut pas (toujours ou jamais?) donner une equation de cet ev ?

ex la base de R3: (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) on ne peut pas donner d'eq ?

bah le fait qu'il y ait une equation signifie qu'on prend un e.v et qu'on y met une contrainte... Si tu prends la base canonique de R3 pour definir l'e.v R3 ... bah il n y a aucune contrainte... Tous les vecteurs de R3 sont solutions de ton équation ... à la rigueur, ton équation peut être : R3={ x,y,z | x€R , y€R , z€R}
Mais ca fait bizarre d'écrire ca ^^

[ericub]

donc en fait on peut toujours determiner une base à partir d'une equation et inversement...

[Kriegger]

Bah puisque tout espace vectoriel a une base... Le fait qu'une équation détermine un espace vectoriel implique qu'on puisse lui trouver une base.

L'inverse est vrai mais on ne s'en sert jamais. On travaille avec des familles génératrices, non des équations. Le fait qu'on file une equation et qu'on demande une base ne se fait meme qu'au début, lorsqu'on apprend l'algebre linéaire.