Probleme sur les extremums d'une fonction avec une racine

[Ombre]

Bonjour tout le monde !

J'essaie de résoudre cet exercice, extrait du site de G.COSTANTINI :

"On considère la fonction definie par :

1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction
2. Étudier la parité de la fonction
3.Tracer soigneusement la représentation graphique de la fonction
4. Démontrer que la fonction f admet un maximum M=2. (On pourra determiner le signe de )"

Je n'ai pas de problème pour les 3 premières questions.

1.
n'existe que si
n'existe que si
Donc

2.f est impaire, car
en effet,

3. J'utilise Lybniz pour plotter mes fonctions sur ordinateur

4. C'est la que je bloque !

Résolvons d'abord l'équation , qui équivaut a l'équation , soit a résoudre les équations et



donc équivaut a

soit ou

On sait donc que admet une solution respectivement pour et

Il faut maintenant étudier le signe de . En se basant sur la représentation graphique , on peut dire que si , soit ,ce qui revient a prouver que f(x) admet deux extremums -2 et +2 sur

Comme on l'a déja montré
On peut affirmer que l'inequation est vraie sur car est toujours positif.

On a donc démontré que f(x) admet un maximum M = +2

Je suis pas du tout sur de la justesse de ma démonstration dans la dernière question. En particulier, la partie en rouge, j'ai l'intuition qu'elle est juste, mais je me demande si il manque pas quelque chose ?

Merci d'avance pour votre aide !

[vincent.pantaloni]

Relis la question:
4. Démontrer que la fonction f admet un maximum M=2. (On pourra determiner le signe de f(x)²-4
Par définition du maximum, il faut prouver que et que f atteint la valeur 2.
On te suggère d'étudier le signe de f(x)²-4
Or tu as trouvé l'expression de f(x)²-4 , l'opposé d'un carré.

Donc clairement et donc
Reste à voir que f(x)=2 admet une solution (au moins). Mais tu les a aussi trouvées. Tu as, pour tout x de Df:

Cela signifie que f admet un maximum de 2 en racine de 2.

[Ombre]

Cool donc j'avais trouvé en fait ?

Mais, comment je suis censé présenter ma démonstration , qu'est ce qui manquait dans ma démonstration puisque j'avais trouvé tous les résultats qu'il fallait ?

(j'avais étudié le signe de f(x)² - 4, quand je dis "Comme on l'a déja montré [f(x)]^2-4 = -(x^2-2)^2
On peut affirmer que l'inequation -(x^2-2)^2 \le 0 est vraie sur Df car (x^2-2)^2 est toujours positif.")

et est ce que l'affirmation :

on peut dire que si , soit ,ce qui revient a prouver que f(x) admet deux extremums -2 et +2 sur

est vraie ?

car si elle l'est, cela inclus pour tout x de R , donc la demonstration du maximum non ?
Merci beaucoup !

[Benjamin]

Une façon de rédiger :

Soit x appartenant à Df.


Or, donc donc donc

Donc 2 est un majorant de f(x) sur Df.

De plus, donc 2 est un maximum, atteint pour la valeur x=2. Il est unique car l'équation admet 2 solutions, et . Or , ce qui est différent de 2.

[Ombre]

super merci !

c'est beaucoup moins confus que ce que j'ai fait

mais j'aimerais bien savoir si l'assertion en rouge dans mon message original est juste ou pas au final :)