Exercice "Fonction de référence et optimisation"

[James-]

Bonjour,


Un pripriétaire dispose de 200m de cloture.
Il envisage de les utiliser pour faire un enclos rectangulaire ABCD. Un mur lui permet d'économiser la cloture sur le coté [AD]. On note AB= x et A(x) l'aire du rectangle ABCD.


Pouvez vous m'aidez a répondre aux questions suivantes svp:

1) a)Calculer A(20) A(40) A(70)
b)Dans quel intervalle peut-on choisir x?

2) a) Exprimer A(x) en focntion de x
b) Monter que A(x)= -2(x-50)² + 5000

3) Etudier les variations de la fonction A sur l'intervalle [0;100[
On montrera que A est croissante sur [0;50[ et décroissante sur [50;100[


J'ai déja fais un dessin mais j'ai du mal a comprendre, meme la première question je bloque alors que cela parrait facile.

[Benjamin]

Bonjour,

Tu disposes d'une information sur le périmètre du rectangle. En effet, tu sais que la clotûre fait 200 mètres. Quelle est alors la longueur de segment [BC] en fonction de x ?
Tu peux alors en déduire A(x).

[James-]

Bonjour,

Tu disposes d'une information sur le périmètre du rectangle. En effet, tu sais que la clotûre fait 200 mètres. Quelle est alors la longueur de segment [BC] en fonction de x ?
Tu peux alors en déduire A(x).

Ok merci!

[BC]= 200-x
A(20)= 200-20= 180
A(40)= 200-40= 160
A(70)= 200-70 = 130

C'est bien ca?

[Benjamin]

Pas tout à fait. Le mur ne te fait économiser que le côté AD donc la longueur de la cloture, c'est AB+... ?
Et donc, BC=?

[James-]

Pas tout à fait. Le mur ne te fait économiser que le côté AD donc la longueur de la cloture, c'est AB+... ?
Et donc, BC=?

longueur de la cloture = AB+AD+BC

BC= AB+AD
BC= x+200

A(20)= 20+200= 220
A(40)= 40+200= 240
A(70)= 70+200= 270

Dans quel intervalle peut-on choisir x? dans [20; 70]?

[Benjamin]

longueur de la cloture = AB+AD+BC

Non, ce n'est pas ça. C'est le côté AD qui correspond au mur, il ne peut donc pas intervenir dans le calcul de la longueur de la cloture, vu qu'il n'y a pas de cloture le long du mur.

AB=x, donné dans l'énoncé.
On a un rectangle donc DC=?
Ainsi, tu devrais trouver la bonne valeur de BC en fonction de x

BC= AB+AD
BC= x+200

C'est encore faux.

[James-]

DC= x BC= 200 - 2x ?

[Benjamin]

Le périmètre d'un rectangle, c'est la somme des 4 côtés : AB+BC+CD+DA.

Donc la cloture du champ (qui mesure 200m) devrait avoir une longueur de AB+BC+CD+DA. On entoure le champ. Or, le côté AD est contre un mur. Il n'est pas donc pas nécessaire de mettre de la cloture sur le côté DA.

Quels sont les côtés où une cloture est présente ?
Quelle est alors la longueur de la cloture en fonction de x et BC ?
Que vaut alors BC ?

[James-]

200= AB + BC +DC
200= X + BC + X
200-2X = BC

C'est bien cela?

[Benjamin]

Oui :)
Et donc A(x)=?

[James-]

A(x)= BC*AB
= (200-2X)*X
= X(200-2x)?

[Benjamin]

Tout à fait, tu peux continuer l'exo.

[James-]

A(20)= 20(200-2*20)= 3200
A(40)= 40(200-2*40)= 4800
A(70)= 70(200-2*70)= 4200

[James-]

Tout à fait, tu peux continuer l'exo.

Merci beaucoup pour les explications et ta patience!

[James-]

2) a)A(x)= AB* BC
= X*X(200-2x)

b)-2(X-50)²+5000
=-2(x²-100x+2500)+5000
= -2x²+200x-5000+5000
=-2x²+200x

Il y a une erreur quelque part?

[Benjamin]

b)-2(X-50)²+5000
=-2(x²-100x+2500)+5000
= -2x²+200x-5000+5000
=-2x²+200x

Ca, c'est juste.

2) a)A(x)= AB* BC
= X*X(200-2x)

Regarde 3 posts plus haut, tu avais donné la bonne formule, tu as fait une petite erreur là