Matrice d'endomorphisme de polynôme

[Acn]

Bonjour :)

Je bloque sur une p'tite question d'algèbre et j'aimerais avoir vos idées :girl2:

Soit E=Rn[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n.
Soit f l'endomorphisme défini par:
f(P)=(X²-1)P''+3XP'

Ecrire la matrice de f dans la base canonique de E, et montrer que f est diagonalisable.


Je ne comprends déjà pas ce qu'est la base canonique de cet espace :cry:
Pourriez-vous m'aidez svp?

A.

[Acn]

(petit déterrage)

Il doit y avoir quelque chose qui m'échappe.

L'espace de départ est de dimension n, l'espace d'arrivée aussi.

La base canonique ayant des vecteurs à une composante, je ne vois pas comment exprimer l'endomorphisme par rapport aux éléments de la base :hum:

[Joker62]

L'espace de départ et d'arrivée sont de dimension n+1 si je ne m'abuse

Calcul juste l'image des élements de la base par l'endormorphisme f
tu trouveras certainement une ptite relation sympathique

f(1) = (X^2-1)*0 + 3X*0 = 0
f(X) = (X^2-1)*0 + 3X*1 = 3X
f(X^2) = (X^2-1)*2 + 3*X*2X = 8X^2 - 2
…
f(X^k) = (X^2-1)*k*(k-1)*X^(k-2) + 3*X*k*X^(k-1)
= (k^2 + 2k)*X^k - k*(k-1)*X^(k-2)