Application de la dérivé

[X-heaven-free-x]

Bonsoir à tous, j'aurais voulu savoir si quelqu'un pourrait m'aider sur un problème de maths, j'ai en effet quelques soucis ...

Exercice 1

On désire trouver, parmi les rectangles d'une aire égale à 10cm², celui dont le périmetre est minimal.
On note x et y les dimensions d'un tel rectangle en cm.

a) Exprimer y en fonction de x.

b) Exprimer le périmètre P d'un tel rectangle en fonction de x.

c) Etudier le sens de variation de la fonction f(x)= x+10/x sur l'intervalle ]0; + l'infini[

d) Déterminer les dimensions du rectangle d'aire 10cm² et dont le périmètre est minimal.

Pour le a) j'ai répondu y=x/10 , en relation avec l'aire du rectangle :

10= xy (=) y=x/10

Pour le b) je pensais à P= 2(x+y) ; mais je ne sais pas s'il faut réduire ou écrire l'expression de manière différente

Pour le c), j'ai cherché la dérivé de cette fonction, et j'ai trouvé :

f '(x)= 1 - 10/x²

Ensuite je n'arrive pas à prouver que f(x) est décroissante puis croissante sur R*+.

De ce fait je n'ai pas pu faire la fin de cet exercice.

J'espère recevoir vos aides, en tout cas je vous remercie d'avances si réponses il y a ^^

[SimonB]

Pour le a) j'ai répondu y=x/10 , en relation avec l'aire du rectangle :

10= xy (=) y=x/10

Bien.

Pour le b) je pensais à P= 2(x+y) ; mais je ne sais pas s'il faut réduire ou écrire l'expression de manière différente

Il faut l'exprimer uniquement en fonction de x (donc remplacer le y par l'expression trouvée au-dessus).

Pour le c), j'ai cherché la dérivé de cette fonction, et j'ai trouvé :

f '(x)= 1 - 10/x²

Ensuite je n'arrive pas à prouver que f(x) est décroissante puis croissante sur R*+.

L'expression de la dérivée est juste. Quand tu as la dérivée, ben... Il faut étudier en quel(s) point(s) elle s'annule et faire un tableau de signes. Quand elle est positive, f croît, quand elle est négative, f décroît.

Une note, cependant. On écrit à la va-vite et tout, on est sur internet, mais même... On ne dit pas "f(x) croît". On dit : f croît. L'objet dont tu veux parler, c'est la fonction globale, f (c'est-à-dire la correspondance qui à un nombre de l'intervalle de définition associe un autre nombre), pas la valeur en un point particulier f(x). Puisque seul l'objet global peut posséder des propriétés de croissance.
Le vocabulaire, c'est important en maths !

[X-heaven-free-x]

Je suis d'accord avec vous, cela porte souvent à confusion ^^

Pour la suite du c), dois-je faire 1 - 10/x² = 0 ??
Et par la suite je devrais arriver à un polynome du second degré et résoudre par delta ect... ?

Pour P on obtient : P= 2(x+10/x) (=) 2x +20/x

[Sa Majesté]

Pour le a, c'est y=10/x et pas x/10 mais je pense que c'est juste une erreur de frappe
Pour le c, tu dois effectivement résoudre 1 - 10/x² = 0 (et ça se résout sans discriminant !)
Et évite de parler de delta (perso ça ne me gêne pas mais cela provoque des poussées d'urticaire et des envies de meurtre chez certains que je ne nommerai pas :ptdr: :ptdr: )
Puis tu étudies le signe de la dérivée

[X-heaven-free-x]

Pour le c) toujours on fait 1-10/x² = 0 pour trouver un polynome du second degré et ensuite résoudre.

Dois je faire : x² - 10 = 0 avec a²-b² et (a+b)(a-b) = 0

(=) (x+racine 10 ) (x-racine 10 ) = 0

et on obtiendrait x1= -Racine de 10 et x2= Racine de 10 non ?

Suis je sur la bonne voie ou non ?

[Sa Majesté]

Oui
Tu n'as plus qu'à dresser le tableau de variations de f

[X-heaven-free-x]

Bonsoir, j'ai dréssé le tableau de variation de f '(x), cependant il est écrit dans mon manuel d'écrire la fonction dérivé de f(x)= x + 10/x sous la forme suivante: g(x)/x² et ensuite faire l'étude de cette fonction


f'(x)= 1 - 10/x² (=) x²-10/ x²

On résoud x²-10/x²=0 , x² strictement supérieur ou égal à 0 f' est du signe de x²-10.

On déduit comme solution racine de 10 et son opposé. Avec 0 comme valeur interdite entre eux deux, on supprime du tableau la solution -racine de 10 ( une dimension d'un rectangle ne pouvant être négatif :) ) et l on a entre 0 et racine de 10 des valeurs négatives de f', qui s'annule en racine de 10, et qui des valeurs positives par la suite en f'.

Donc f est décroisante sur ]0;racine de 10[ ,et est croissante jusqu'à + l'infini .

Mon souci est donc maintenant de finir ce devoir, et ainsi trouver le périmètre le plus petit de ce rectangle; on me dit dans le manuel on me dit de faire le lien entref(x) et le périmètre P calculé en b) ( où j'avais trouvé P= 2x + 20/x sans que l'on me confirme ce résultat ) . Pourriez vous donc m'apporter une dernière aide ? Merci d'avance ^^

[X-heaven-free-x]

J'avais pensé à quelque chose, en terme de dimension de ce rectangle, mais rien de très concret...

Un carré est un rectangle, et un carré de coté racine de 10 aurait un périmètre de 12,65 arrondi au centième . Autre fait, racine de 10 est le sommet de la fonction f(x)= x + 10/x .... Il n'y aurais pas de rapport entre cela ????

[X-heaven-free-x]

Quelqu'un pourrait il m'aider s'il vous plait ? :triste: