Projecteur

[Maseru]

Bonjour à tous,

Soit E l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coeff. réels
Soit S l'ensemble des matrices symétriques d'ordre n
Soit A l'ensemble des matrices antisymétriques d'ordre n

on sait que:
-A et S sont supplémentaires dans E
-pour tout M appartenant à E, M= (M+tM)/2 + (M-tM)/2 (tM=transposée de M)
-soient a et b 2 réels fixés non nuls et f l'endo. de E tel que:
pour tout M appartenant à E, f(E)= a*M + b*tM
-p est le projecteur sur S parallèlement à A
-->rien de bien méchant jusque là!

question: comment exprimer f à l'aide de p et IdE-p? (sachant qu'après, il faudra exprimer f² en fction de f et IdE)

->je ne vois pas du tt comment prendre cette question!
merci d'avance pour votre aide!

[alavacommejetepousse]

bonjour
p(M) = (M +tM)/2
soit p = (id + t) /2

et t = 2p - id

f = a id + b t = a id + b (2p -id) = (a-b)[id -p] + (b +a)p

[Maseru]

Fichtre, il fallait la remarquer cette foutue factorisation; merci beaucoup!

[Maseru]

Désormais, il me faut exprimer f² en fction de f et IdE.

en dvpant, je trouve: f²=(a²-2ab+b²)*IdE + 4ab*p et je ne vois pas comment modifier cette écriture pour parvenir à la question demandée

[alavacommejetepousse]

f = ( a-b) q + (a+b) p

avec q = id - p
q^2 = q ; p^2 = p
p°q= q°p = 0 donc

f^2 = ( a-b)^2 q + (a+b)^2 p

[Maseru]

je suis d'accord avec ton raisonnement mais cela ne permet pas de trouver f² en fction de f et IdE!

[alavacommejetepousse]

humhum

q = id - p ... suffit de remplacer