Fonction entière

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
Dyo
Membre Relatif
Messages: 124
Enregistré le: 14 Sep 2007, 12:24

Fonction entière

par Dyo » 18 Avr 2008, 16:19

Bonjour,

Voici l'énoncé d'un exo qui me pose problème:
Soit une fonction entière (holomorphe sur ) telle que pour tout on ait:

sont positifs. On demande de montrer que est un polynôme.

Quelqu'un peut il me donner une piste ?

Merci



Joker62
Membre Transcendant
Messages: 5028
Enregistré le: 24 Déc 2006, 21:29

par Joker62 » 18 Avr 2008, 17:13

Hello ;)
Moi la première chose à laquelle je pense en voyant le sujet :

Une fonction entière est soit un polynôme, soit elle possède une singularité essentielle à l'infini.
( Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Petit_th%C3%A9or%C3%A8me_de_Picard )

Donc bon, j'me réduirais à prouver qu'elle n'a pas de singularité essentielle en l'infini
Donc montre qu'elle possède une limite ( même inifnie )

Je dis ça sans aucune conviction, j'ai pas essayé.
Bon courage

Dyo
Membre Relatif
Messages: 124
Enregistré le: 14 Sep 2007, 12:24

par Dyo » 18 Avr 2008, 19:21

Ok je ne connaissais pas ces résultats, merci ;)

alavacommejetepousse
Membre Irrationnel
Messages: 1667
Enregistré le: 28 Fév 2008, 18:23

par alavacommejetepousse » 18 Avr 2008, 20:09

bonsoir
de façon élémentaire
l'inégalité de cauchy immédiate à démontrer
donne

l an l = < M(R) / R^n où M(R) est le sup de l f l sur le disque de centre 0 et de rayon R

en prenant n > k et en faisant tendre R vers l 'infini on trouve

l an l = 0 ce qui prouve que f est un polynôme de degré au plus k

ThSQ
Membre Complexe
Messages: 2077
Enregistré le: 10 Oct 2007, 19:40

par ThSQ » 18 Avr 2008, 20:23

On peut faire comme ça :

ce qui n'est possible que si est nul à partir d'un certain rang.

Dyo
Membre Relatif
Messages: 124
Enregistré le: 14 Sep 2007, 12:24

par Dyo » 18 Avr 2008, 20:25

Merci pour cette méthode.

En rédigeant plus ou moins on a donc:
dans un voisinage de . Les inégalités de Cauchy nous donnnent est le Sup de f sur le disque...

Le fait que soit borné vient donc de pour tout . Dans ce cas à quoi servent les A et B ?

Sinon oui la conclusion est immédiate.

alavacommejetepousse
Membre Irrationnel
Messages: 1667
Enregistré le: 28 Fév 2008, 18:23

par alavacommejetepousse » 18 Avr 2008, 20:28

1
A et B sont des constantes nécessaires pour la réciproque
si f est un polynôme de degré au plus k il existe A et B ... ( et on ne peut pas faire mieux)
2
ATTENTION le dse n'est pas seulement valable ds un voisinage de 0 mais dans le plan entier sinon comment pourrait on faire tendre R vers l'infini...

Dyo
Membre Relatif
Messages: 124
Enregistré le: 14 Sep 2007, 12:24

par Dyo » 18 Avr 2008, 21:58

Ok pour 1.

Oui pour 2, je voulais dire "sur le disque centré en 0...".

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 22 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite