Fonction entière
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Dyo
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par Dyo » 18 Avr 2008, 16:19
Bonjour,
Voici l'énoncé d'un exo qui me pose problème:
Soit
une fonction entière (holomorphe sur
) telle que pour tout
on ait:
où
sont positifs. On demande de montrer que
est un polynôme.
Quelqu'un peut il me donner une piste ?
Merci
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Joker62
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par Joker62 » 18 Avr 2008, 17:13
Hello
Moi la première chose à laquelle je pense en voyant le sujet :
Une fonction entière est soit un polynôme, soit elle possède une singularité essentielle à l'infini.
( Source :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Petit_th%C3%A9or%C3%A8me_de_Picard )
Donc bon, j'me réduirais à prouver qu'elle n'a pas de singularité essentielle en l'infini
Donc montre qu'elle possède une limite ( même inifnie )
Je dis ça sans aucune conviction, j'ai pas essayé.
Bon courage
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Dyo
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par Dyo » 18 Avr 2008, 19:21
Ok je ne connaissais pas ces résultats, merci ;)
par alavacommejetepousse » 18 Avr 2008, 20:09
bonsoir
de façon élémentaire
l'inégalité de cauchy immédiate à démontrer
donne
l an l = < M(R) / R^n où M(R) est le sup de l f l sur le disque de centre 0 et de rayon R
en prenant n > k et en faisant tendre R vers l 'infini on trouve
l an l = 0 ce qui prouve que f est un polynôme de degré au plus k
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ThSQ
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par ThSQ » 18 Avr 2008, 20:23
On peut faire comme ça :
ce qui n'est possible que si
est nul à partir d'un certain rang.
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Dyo
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par Dyo » 18 Avr 2008, 20:25
Merci pour cette méthode.
En rédigeant plus ou moins on a donc:
dans un voisinage de
. Les inégalités de Cauchy nous donnnent
où
est le Sup de f sur le disque...
Le fait que
soit borné vient donc de
pour tout
. Dans ce cas à quoi servent les A et B ?
Sinon oui la conclusion est immédiate.
par alavacommejetepousse » 18 Avr 2008, 20:28
1
A et B sont des constantes nécessaires pour la réciproque
si f est un polynôme de degré au plus k il existe A et B ... ( et on ne peut pas faire mieux)
2
ATTENTION le dse n'est pas seulement valable ds un voisinage de 0 mais dans le plan entier sinon comment pourrait on faire tendre R vers l'infini...
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Dyo
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par Dyo » 18 Avr 2008, 21:58
Ok pour 1.
Oui pour 2, je voulais dire "sur le disque centré en 0...".
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