[FONT=Comic Sans MS]a et b désignent des réels strictement positifs avec a > b.
ABCD et BEFG sont des carrés dont les côtés ont pour longueurs respectivement a et b, de façon que E appartient à [BC] et B appartient à [AG].
H et I sont les points tel que:
* H appartient à [AB] et AH = b
* I appartient à la demi-droite issue de E contenant C avec EI = a[/FONT]
1a) Prouver que AH = CI
b) Démontrer que les triangles ADH et CDI son isométriques.
En déduire que HD = ID.
2) Démontere que les triangles GHF et EIF sont isométriques ainsi que les triangles ADH et GHF.
3a) En déduire que HDIF est un losange.
3b)Démontrer que = 90°.
Quelle est la nature du quadrilatère HDIF?
4.a)Exprimer l'aire de HDIF en fonction de a et b.
4b) Prouver enfin que DH²= AD²+AH².
*Les Réponses* :
1a)
EI = a
BI = BE + EI
BI = b + a
BI = BC + CI
BI = a + CI
--> b + a = a + CI
Et donc CI = b
Et comme AH = b par hypothèse, alors AH = CI
---
b)
AH = CI
AB = DC (comme cotés du même carré ABCD)
Angle(DAH) = angle(DCI) = 90°
les triangles ADH et CDI sont isométriques.
On a donc HD = ID
2)
pour démontrer que GHF et EIF sont isométrique :
Hypothèse:
HG = EI = a
Angle (HGF)= angle(IEF) = 90°
GF = EF = b
---> DONC : GHF et EIF isométriques
pour démonter que ADH et GHF sont isométrique :
Hypothèse:
angle (DAH)=angle (HGF) = 90
AH = GF = b
AD = HG = a
3a)
on sait que DH=HF=FI=DI, car ADH , CDI , EIF, FGH sont isométriques entre eux
d'après la propriété :puisque un quadrilatère dont tous les côtés sont de même longueur est un losange...
donc DHFI est un losange.
b)
AHD est égal à GFH (à cause de l'isométrie des triangels) .
Donc AHD + GHF = GFH + GHF = 90 °
pour la nature du quadrilatère HDIF :
on sait que HDIF est un losange et DHF=90°
Donc un losange ayant un angle droit est un carré.
donc HDIF est un carré.
4a)
Pour exprimer l'aire:
HF²=HG²+GF²
HF²=a²+b²
l'aire d'un carré c'est (Mesure d'un côté)2 mais comme hf est déja au carré l'aire du carré est de a²+b²
b)
Pour prouver que DH²= AD²+AH² j'utilise le théorème de phytagore dans le triangle DAH rectangle en A.
donc DH²=AD²+AH²
Voila c'st très long mais j'espère que vous pouriez me donner la réponse à ma question
merci et bon corriger