Continuité de fonction

par **maxdu17** » 18 Avr 2008, 10:03

bonjour, j'ai un problème sur un exercice ou je dois prouver la continuité d'une fonction. En cours on avait fais un exercice du même genre mais la continuité était admise donc je bloque.

f:[0, +°°] et la fonction est définie par f(0)=0 et f(x)=x^(x+^(1/x) ) pour tout x > 0.

Avec ces données il faut démontrer que f est continue. Donc pourrais - je avoir de l'aide svp.
merci d'avance.

par **le_fabien** » 18 Avr 2008, 10:09

x^(x^(1/x)) ?

par **maxdu17** » 18 Avr 2008, 10:14

x^(x^(1/x)) ?
__________________
Tout est là : e^(i*pi)+1=0

bonjour FAB, mais je ne comprends pas comment tu arrive à e^(i*pi)+1=0 ?

par **le_fabien** » 18 Avr 2008, 10:14

Car si la fonction est:
f(x)=x^(x+1/x) alors f(x)=[e^(xlnx)]*[e^((lnx)/x)]
et avec cette écriture la limite est facile à determiner

par **le_fabien** » 18 Avr 2008, 10:17

hi hi hi hi hi..
Ce qui est écrit sous le trait est ma signature.
Elle est présente à chacun de mes messages.

par **maxdu17** » 18 Avr 2008, 10:19

ok excuse moi . alors c'est f(x)=x^(x+(1/x) )

par **le_fabien** » 18 Avr 2008, 10:24

LEFAB11 a écrit:Car si la fonction est:
f(x)=x^(x+1/x) alors f(x)=[e^(xlnx)]*[e^((lnx)/x)]
et avec cette écriture la limite est facile à determiner

Donc cette écriture est valable.

par **maxdu17** » 18 Avr 2008, 10:24

mais comment obtient tu cette écriture c'est ca que je ne comprends pas f(x)=x^(x+1/x) alors f(x)=[e^(xlnx)]*[e^((lnx)/x)]

par **le_fabien** » 18 Avr 2008, 10:25

grâce à f(x)=e^(ln(f(x))

par **maxdu17** » 18 Avr 2008, 10:26

mais le f(x) est différent de celui du départ alors

par **maxdu17** » 18 Avr 2008, 10:28

ca fair e^(x+1/x(ln(x)) nan? j'ai trouvé ca mais de là que je suis bloqué

par **le_fabien** » 18 Avr 2008, 10:30

bien sur que non. e et ln sont deux fonctions réciproques

par **le_fabien** » 18 Avr 2008, 10:32

maxdu17 a écrit:ca fair e^(x+1/x(ln(x)) nan? j'ai trouvé ca mais de là que je suis bloqué

développes encore un peu et tu auras la bonne expression

par **maxdu17** » 18 Avr 2008, 10:35

c'est bon j'arrive à( e^xlnx) * (e^lnx/x).
mais tu m'a dis précédemment c'est facile pour les limites mais pour la continuité il ne faut pas montrer que c'est dérivable?

par **le_fabien** » 18 Avr 2008, 10:39

Non ce n'est pas nécessaire.Une fonction peut être continue sans pour autant être dérivable

par **maxdu17** » 18 Avr 2008, 10:41

et bien il existe un théorème pour montrer la continuité sans utiliser la dérivée. car plus tard il me demande la limite en +°° et de montrer qu'elle est dérivable sur l'ensemble de définition. pour moi elle tend vers +°° en +°°.

par **fatal_error** » 18 Avr 2008, 11:33

Bonjour,

juste pour le théoreme:
f est composée de fonctions continues donc f est continue sauf en 0 a priori (ce qu'on veut montrer avec

)

par **maxdu17** » 18 Avr 2008, 12:12

je n'arrive pas à démontrer que f est dérivable sur]0,+°°[ et que f a une demi dérivée à droite en 0 sachant que f=x^(x+(1/x) et que f(0)=0 est l'ensemble de définition est [0, +°°[

cordialement

par **le_fabien** » 18 Avr 2008, 12:47

La seule difficulté est la dérivabilté en 0:
pour cela exprime le quotient (f(x)-f(0))/(x-0)=(x^(x+1/x))/x=(e^xlnx)(e^((lnx)/x)/(e^lnx)
=(e^xlnx)(e^(lnx)/x)*(e^(-lnx))
=(e^xlnx)(e^(lnx(1/x-1)
Tu determines la limite en 0 et tu as ta dérivabilté en 0

par **maxdu17** » 18 Avr 2008, 12:52

ok merci a tous pour votre aide . je vous remercie.

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