Suite géométrique et limite de suites

[Pioux]

Bonjour tout le monde, je suis élève en 1°S et je fais des révisions pendant les vacances et je fais donc les exercices de mon livre de math mais ils ne sont pas tous corrigés, et je ne trouve pas la première question de cette exercice ca commence mal..

Indication :
Un se lit u indice n et U(n+1) u indice n+1

Enoncé :

La suite (Un) est définie par Uo = 0, U1 = 10 et , pour tout n de N U(n+2) = 1/3U(n+1) + 2/3Un

On note (Vn) la suite telle que, pour tout n de N, Vn = U(n+1) - Un

1. Démontrer que la suite (Vn) est géométrique.

(j'ai essayé dabord essayée de trouver U(n+1) et Un pour de faire la diffèrence pour trouver Vn, après de chercher V(n+1) pour en faire le quotient pour trouver la raison de la suite géométrique mais ca ne marche pas ou alors j'ai faux dans mes calculs)

2. En déduire Vn en fonction de n.

(Ca je sais faire mais sans la raison je ne peux pas)

3. Calculer de deux manières diffèrentes la somme V0 + V1 + V2 +...+V(n-1).

4. Exprimer Un en fonction de n. La suite (Un) est t-elle convergente ? Justifiez

Merci à tous ceux qui m'apporterons de l'aide.

[Benjamin]

Bonjour,
Le but de l'exercice est de trouvé Un justement, donc ne cherche pas à calculer Un+1 puis Un, c'est beaucoup trop compliqué.

Calcule directement le quotient Vn+1/Vn, et remplaçant Vn+1 et Vn par ce que ça vaut, puis en utilisant ce que vaut Un+2. Tu devrais arriver assez vite au résultat :)

[Pioux]

Dans mon cours pour prouver qu'une suite est géométrique on fait :V(n+1)/Vn
Donc j'ai cherchée V(n+1) comme vous m'avez dit V(n+1) = U(n+2) - U(n+1)
Donc V(n+1)/Vn = U(n+2) / Un
Après j'ai remplace U(n+2) par sa valeur dit dans l'énoncé mais ca n'avance à rien, je ne trouve pas..

[Benjamin]

Donc V(n+1)/Vn = U(n+2) / Un

C'est faux.
Vn+1=Un+2-Un+1 et Vn = Un+1-Un donc Vn+1/Vn=(Un+2-Un+1)/(Un+1-Un), c'est tout.
Maintenant, tu peux remplacer Un+2, et tu devrais trouver qqch

Et il faut me tutoyer

[Pioux]

ok ca y est j'ai trouvée -2/3 je pense que c'est bon.

Du coup pour la deuxieme question je trouve Vn = 10*(-2/3)^n

la troisième j'ai appliquée la formule de la somme et je trouve 42^(n-1)/5 mais je ne sais pas comment faire pour calculer d'une autre maniere...

[Benjamin]

Pour Vn = 10*(-2/3)^n, je suis d'accord.

Pour le calcul de la somme, je ne suis pas d'accord. Quelle formule as-tu utilisée ?
Enfin, pour la deuxième façon de calculer, remplace Vi par Ui+1-Ui, pour tous les Vi.

[Pioux]

J'ai utilisée S = Vo * (1-q^n) / (1-q) q étant la raison bien sur

Qu'est ce que c'est Vi ???

[Benjamin]

Je suis d'accord pour la formule. Mais tu dois t'être trompé quelque part.
Pour t'en convaincre, il suffit de remarquer que pour n=1, tu dois retrouver V0, ce qui n'est pas le cas avec ta formule.

Ensuite, Vi, c'est V indice i. C'est pour désigner l'ensemble des termes de la somme. En fait, tu calcules la somme des Vi pour i allant de 0 à n-1. C'est un indice, rien de plus. En gros, ce que je veux dire, c'est que tu remplaces Vn-1 par Un-Un-1, Vn-2 par Un-1-Un-2, etc...

[Pioux]

J'ai recalculée je trouve 10^(n-1)

Et pour la deuxième formule je trouve : -U0 - U(n+1) soit -10 - U(n+1)

[Benjamin]

Ta nouvelle formule ne marche toujours pas pour n=1 !!!!!
On ne peut pas simplifier 1-q^n a priori, laisse le donc comme il est :)
Pour la deuxième façon, petite erreur de signe, et ne confonds pas U0 avec U1 ;)

[Pioux]

Je suis vraiment nul je desespere en effet c'est -0 - U(n+1) donc -U(n+1)

Ensuite je détaille mon calcul avec ma formule donc :

Vo * (1-q^n/1-q) = Vo * (1 + (2/3)^(n-1)) / (1+(2/3))
= 10 * ( (5/3)^(n-1)) / (5/3) )
= 10 * ( (5/3)^(n-1)) * (3/5) )
= 10 * (1^(n-1))
= 10^(n-1)
Si n=1 on trouve Vo et n=2 on trouve V1 non ?

[Benjamin]

Si n=1, 10^(n-1)=10^0=1, car pour tout réel a, a^0=1.

Ton calcul est complétement faux, désolé.

Vo * (1-q^n/1-q)

Déjà, il manque des parenthèses, c'est Vo * (1-q^n)/(1-q)


= Vo * (1 + (2/3)^(n-1)) / (1+(2/3))
q=-2/3, il reste donc au numérateur, ensuite, pour le n se transforme en n-1 ?


= 10 * ( (5/3)^(n-1)) / (5/3) )
1+a^n n'est surtout pas égale à (1+a)^n


= 10 * ( (5/3)^(n-1)) * (3/5) )
bon, ce passage est juste, mais comme ce qu'il y a avant est faux...


= 10 * (1^(n-1))
Attention, a^n/a^m=a^(n-m) et non pas 1^(n--m)

= 10^(n-1)
Passage à cette ligne juste aussi, mais faux depuis le début...


Pour la deuxième façon, toujours une erreur de signe. Que vaut Vn-1 ?

[Pioux]

Merci d'avoir tout détails j'ai pu voir toute mes erreurs alors je trouve
6 + 4^(n-1)

et la deuxième facon : c'est -U(n-1) ?

En tout cas je réfléchis pas assez car je sais tout ca... J'espere que c'est juste cette fois-ci...

[Benjamin]

C'est mieux, mais c'est pas encore ça.
Le 6 est juste.
Par contre, 6*(2/3)^n n'est pas égale à (6*2/3)^n, attention.
Enfin, n'oublie pas le signe moins devant 2/3 parce que q=-2/3 et non pas 2/3.

Pour la somme, il reste un problème de signe. Ce n'est pas sur l'indice (n+1 à la place de n-1).

[Pioux]

Rolala j'y arrive vraiment pas je re-détaille mon nouveau calcul :

10 * ( (3/5)*(1+(2/3)^(n-1)) ) = 10*( (3/5) + (6/15)^(n-1) ) = 6 + 4(n-1)


Et pour la somme ben la du coup c'est forcément U(n+1) nan ? Ce que je comprend pas c'est que V(n-1) = Un-U(n-1)... Donc lorsqu'on fait la somme Un s'annule avec le terme précédent donc il reste - Uo - U(n+1)

[Benjamin]

Rolala j'y arrive vraiment pas je re-détaille mon nouveau calcul :

10 * ( (3/5)*(1+(2/3)^(n-1)) )
Ca, c'est faux, parce que ce n'est pas q^n-1, mais^n. Et ensuite, q=-2/3, et non pas 2/3.

Je précise encore les choses. a*(b^n) n'est pas égale, mais alors jamais, à (a*b)^n. Tu ne peux pas faire rentrer le a la-dedans. Autrement dit (1-q^n) est différent de (1+(-q)^n)


= 10*( (3/5) + (6/15)^(n-1) ) = 6 + 4(n-1)
Tu commets la même erreur qu'au-dessus ici. Tu ne peux pas faire rentrer 3/5 dans q^n

Et pour la somme ben la du coup c'est forcément U(n+1) nan ?
Non, mais presque.

Ce que je comprend pas c'est que V(n-1) = Un-U(n-1)...
Ca, oui.


Donc lorsqu'on fait la somme Un s'annule avec le terme précédent $
Non, ce n'est pas Un qui s'annule, mais -U(n-1), il te reste -U0+....

donc il reste - Uo - U(n+1)
Pourquoi un U(n+1) apparait alors que le terme le plus grand de la somme, c'est V(n-1) qui va donner U(n) au maximum.

[Pioux]

Nan nan nan ma formule que mon prof m'a donné c'est
S = Vo * (( 1-q^n)/(1-q)) q la raison qui est égal a (-2/3) et n le nombre de termes bon ca ok je me suis trompé j'ai mt (n-1)
donc c'est égal a 10 * ( (1-(-(2/3)^n)) / (1-(-(2/3))
= 10 * ( (1+(2/3)^n) / (1+(2/3)) )
Bon j'abrége j'ai trouver une erreur
et je trouve 6 + 6*(2/3)^n maintenant


Ensuite j'ai refait la somme
V0 + V1+ V2+...+ V(n-1) = (U1 - Uo) + (U2 - U1) + (U3 - U2) + ( Un - U(n-1) ) Pour moi il reste -Uo-U(n-1)

[Benjamin]

6 + 6*(2/3)^n

Bien, c'est presque ça. Sauf que comme je le disais tu ne peux pas faire passer le signe moins dans la puissance. -(-2/3^n), ça se simplifie pas.

Pour la somme, je te pose une question, avec quoi se simplifie U0 ? Ecris le terme V(n-2), je pense que ça t'aidera :)

A plus,

[Pioux]

Donc je trouve 6+6*(-2/3)^n

Et pour la somme je vois pas ce que V(n-2) intervient la dedans j'ai quand meme calculer V(n-2) = U(n-1) - U(n-2)


Hummm mais sii Du coup il reste -U0+U(n-1) non ?

[Benjamin]

Donc je trouve 6+6*(-2/3)^n

Presque, tu as oublié que c'était 1-q^n et non pas 1+q^n, il suffit juste de changer le signe

Et pour la somme je vois pas ce que V(n-2) intervient la dedans j'ai quand meme calculer V(n-2) = U(n-1) - U(n-2)

Hummm mais sii Du coup il reste -U0+U(n-1) non ?

Que vaut V(n-2)+V(n-1) ? Il reste quoi, juste de cette opération ?
Donc, il reste ?