Algèbre avec matrices

[axiome]

Bonjour,
Pouvez-vous m'aider pour le problème suivant ? (Pour les matrices, je vais tenter de les écrire aussi clairement que possible...)

Soit E=R^4 et f une application linéaire de E vers E. On note A la matrice de f dans une base B de E définie par
A= Mat(f) (avec B en indice entre le "Mat" et le "f")=
1 2 0 0
3 1 2 0
0 3 1 2
0 0 3 1

On note C la matrice suivante, avec t qui appartient à R* :
1 2t 0 0
3/t 1 2t 0
0 3/t 1 2t
0 0 3/t 1

Vérifier que A et C sont semblables, c'est à dire qu'il existe une base B' de E dans laquelle la matrice de f soit C. (On explicitera B').

Voilà, j'ai compris le problème, seulement, pour le résoudre avec ma solution, ça utiliserait un système de 16 équations linéaires à 16 inconnus... C'est 13 de trop... Il doit y avoir une astuce, je pense, mais je ne la vois pas du tout. Pourriez-vous me donner un petit coup de pouce ?
Merci d'avance.

[abcd22]

Bonjour,
On peut supposer la matrice de passage diagonale dès le départ, ça marche, mais je ne vois pas trop comment démontrer que ça va marcher a priori avant de faire les calculs.

[axiome]

Oki, merci beaucoup abcd22, j'ai réussi à me débrouiller.

[axiome]

Pas bête de conjecturer qu'il existe une matrice diagonale qui marche. On sent les gens qui ont beaucoup d'expériences... C'est sûr, 4 inconnus au lieu de 16, ça m'a simplifié un peu les affaires...

[abcd22]

Ce qui donne l'idée de faire ça, c'est qu'une multiplication à gauche par une matrice diagonale multiplie les lignes par les coefficients de la matrice diagonale, une multiplication à droite multiplie les colonnes, donc la diagonale de D^-1 M D avec D diagonale est la même que la diagonale de M, par contre le coefficient d'indice (i,j) a été multiplié par où les a_i sont les coefficients diagonaux de D. En voyant la forme de la nouvelle matrice par rapport à la première on se dit qu'on peut peut-être passer de l'une à l'autre par une transformation de ce genre, mais pour vraiment le démontrer il faut calculer les a_i.

[axiome]

Oki, merci.