Esapce vectoriel des fonctions

[rougedemoiselle]

Bonjour,

Comment puis je montrer que (f1,f2,f3,f4) est une base de E?
Voici l'énoncé :
Soit F(R,R) le R-espace vectoriel des fonctions de R dans R. On considère les 4 éléments de F(R,R) suivants:
f1(x)=e^x
f2(x)=xe^x
f3(x)=e^(-x)
f4=(x)=xe^(-x)

Il faut montrer qu'ils sont linéairement dépendant c'est à dire qu'il existe une combinaison telle que af1+bf2+cf3+df4=0 avec a=b=c=d=0. Mais comment peut-on résoudre ce genre de système. Je pensais changer de variable, prendre X=e^x
C'est ça ?
Merci

[Maxmau]

Bonjour,

Comment puis je montrer que (f1,f2,f3,f4) est une base de E?
Voici l'énoncé :
Soit F(R,R) le R-espace vectoriel des fonctions de R dans R. On considère les 4 éléments de F(R,R) suivants:
f1(x)=e^x
f2(x)=xe^x
f3(x)=e^(-x)
f4=(x)=xe^(-x)

Il faut montrer qu'ils sont linéairement dépendant c'est à dire qu'il existe une combinaison telle que af1+bf2+cf3+df4=0 avec a=b=c=d=0. Mais comment peut-on résoudre ce genre de système. Je pensais changer de variable, prendre X=e^x
C'est ça ?
Merci

NON!
que la seule combinaison linéaire telle que af1+bf2+cf3+df4=0 est a=b=c=d=0.
Donc:
Tu ecris af1+bf2+cf3+df4=0 et tu montres que ça entraine: a=b=c=d=0.
bon travail

[fatal_error]

Bonjour,

Peut-être aussi rajouter que cette combinaison doit etre valable quelquesoit la valeur de x!

[rougedemoiselle]

NON!
que la seule combinaison linéaire telle que af1+bf2+cf3+df4=0 est a=b=c=d=0.
Donc:
Tu ecris af1+bf2+cf3+df4=0 et tu montres que ça entraine: a=b=c=d=0.
bon travail

Comment fait t'on pour résoudre une telle équation. ça semble logique que a=b=c=d=0 pour quelque soit x ?

[fatal_error]

Ben par exemple, tu peux fixer x=0, regarder les rapports entre les coeffs, pis x=2, pis reregarder etc...
Quand t'as fixé 3 ou 4 fois x, ben tu constates que les coeffs sont forcément nuls.

[harchymaide]

Si tu montres que la famille est libre c'est insuffisant pour avoir une base car la famille doit etre génératrice.
Ou alors l'espace vectoriel étudié est de dimension 4 et ta famille libre est bien une base.
As tu plus de renseignements sur l'espace vectoriel E ?

[rougedemoiselle]

Si tu montres que la famille est libre c'est insuffisant pour avoir une base car la famille doit etre génératrice.
Ou alors l'espace vectoriel étudié est de dimension 4 et ta famille libre est bien une base.
As tu plus de renseignements sur l'espace vectoriel E ?

Soit F(R,R) le R-espace vectoriel des fonctions de R dans R. On considère les 4 éléments de F(R,R) suivants:
f1(x)=e^x
f2(x)=xe^x
f3(x)=e^(-x)
f4=(x)=xe^(-x)
On pose E= Vect (f1,f2,f3,f4)

[Anonyme]

Soit F(R,R) le R-espace vectoriel des fonctions de R dans R. On considère les 4 éléments de F(R,R) suivants:
f1(x)=e^x
f2(x)=xe^x
f3(x)=e^(-x)
f4=(x)=xe^(-x)
On pose E= Vect (f1,f2,f3,f4)

Par l'absurde, suppose qu il existe une combinason, t'as les possibilités suivantes : donne a x des valeurs particuliere, ou derive, ou fais tendre x vers + ou - infini c'est plus simple (apres q tu multiplie conveneblement par x et (ou exp(x) )

[rougedemoiselle]

Par l'absurde, suppose qu il existe une combinason, t'as les possibilités suivantes : donne a x des valeurs particuliere, ou derive, ou fais tendre x vers + ou - infini c'est plus simple (apres q tu multiplie conveneblement par x et (ou exp(x) )

Donc je pars par af1+bf2+cf3+df4 = 0 avec a=b=c=d=0.

Mais ensuite je ne vois pas du tout. Dsl

[harchymaide]

Ok
La liberté de la famille suffit.
Il faut donc résoudre le système proposé par fatal_error. Avec les valeurs -1 ; 0 ; 1 et 2, le determinant de la matrice du système est non nul (je trouve ) et l'unique solution est donc bien (0,0,0,0) .

[harchymaide]

je ne sais pas faire une citation ...
tu dis
"Donc je pars par af1+bf2+cf3+df4 = 0 avec a=b=c=d=0.

Mais ensuite je ne vois pas du tout. Dsl"

pars seulement de
soit (a,b,c,d) de tels que af1+bf2+cf3+df4 = 0
ceci est vrai pour tout x. a toi donc de choisir 4 valeurs de x pour trouver un système (si posssible simple) dont la résolution t'amèneras la nullité des coefficients.