Variation d'une fonction et minimum

[Khaize]

Bonjour à tous.
Voila j'ai un DM à faire pour la rentrée et je suis bloquée à la deuxième parite de l'exercice 2.
Voici l'énoncé :
Problème : Entre plusieurs parallélépipèdes rectangles de même volume a³ , quel est celui qui a la moindre superficie?


1. Si on note x la largeur, b la longueur, quel est la hauteur du parallélépipède ( en fonction de x, b et a³ ) ?


==> voici ma réponse : Si on note h la hauteur, h = a³/bx


2. Déterminer l'aire du parallélépipède ( en fonstion de x, b et a³ ).

==> ma réponse : A = 2( bx + (a³/x) + (a³/b) )


3.Etudier les variation de la fonction f(x) = 2( bx + (a³/x) + (a³/b) ), et montrez que le minimum de f(x) est atteint en x= ( a³/b )


==> ma réponse :

Tout d'abord j'ai transformé l'écriture de la fonction : f(x) = 2( bx + (a³/x) + (a³/b) )
f(x) = 2bx² + (2a³/b)x + 2a³


Ensuite j'ai déterminé sa fonction dérivée : f'(x) = 2b × 2x + (2a³/b)
f'(x) = 4bx + (2a³/b)

Donc puisque f est fonction du second degrés elle est définie et dérivable sur ]0 ; +;)[ ( car les mesures doivent être positives ).
Puis j'ai étudié le signe de f'(x): f'(x) > 0
4bx + (2a³/b) > 0
x > -2a³/4b²
x > 0
Puis les limites
lim f(x) ( lorsque x tend vers +;) ) = +;)
lim f(x) ( lorsque x tend vers 0 ) = 2a³

et donc le tableau de variation :
lorsque x appartient à ]0 ; +;)[ , f'(x) > 0 et f(x) strictement croissant.

Seulement pour la 2eme partie de la question je suis cioncée, je n'arrive pas à trouver ou alors mes résultats précédents sont faux. Merci de m'aider à prouver le minimum en x= ( a³/b ) .

J'avais pensé utiliser la fonction dérivée ( qui s'annule lorsque f(x) admet un extremum local ) mais elle s'annule dans les valeur négative ce qui n'est pas possible. Je suis perdue.


Merci d'avance por votre aide.
Khaize

[fatal_error]

Bonjour,

Tu t'es plantée sur l'expression de f(x) quand tu as essayé de simplifier. Derrière, ta dérivée est donc fausse.

[Khaize]

Merci :we: , je sais pas pourquoi j'avais simplifié ma fonction comme sa. Finalement j'ai recommencé:

==> on a f(x) = 2( bx + (a³/x) + (a³/b) )
f(x) = 2bx + (2a³/x) + (2a³/b)
f(x) = ( 2bx² + (2a³/b)x + 2a³ ) / x

on note u(x) = 2bx² + (2a³/b)x + 2a³ d'où sa dérivée u'(x) = 4bx + (2a³/b)
v (x) = x d'où sa dérivée v'(x) = 1

Ainsi f'(x) = [ x (4bx + (2a³/b)) - 1( 2bx² + (2a³/b)x + 2a³ ) ] / x
f'(x) = [ 2bx² - 2a³ ] / x²

Pour le signe de f'(x) on a donc :
f'(x) > 0 [ 2bx² - 2a³ ] / x² = 0

or si x appartient à l'intervalle ]0 ; +;)[ le signe de f'(x) depend du signe de 2bx² - 2a³
or 2bx² - 2a³ = 0
2bx² = 2a³
x² = 2a³/2b
x² = a³/b
x = ( a³/b )

On peut en déduire que la fonction f admet un minimum en x =;)( a³/b ) puisque f admet un extremum local f'(x) s'annule.

Voila cette fois-ci je pense que c'est bon.Si quelqu'un pouvait confirmer ces résultats ^^ .

Merci
Khaize

[fatal_error]

Re,

j'ai pas vérifié les calculs, si tu trouves le bon résultat j'imagine que c'est pas par magie!
Cependant, oublie pas de préciser pourquoi c'est un minimum et pas un maximum, ca fera dude :zen: !

ps:

x² = a³/b
x = ( a³/b )

Remplaces plutot par :

en fait, ya aussi d'ou le problème de l'équivalence.

[Khaize]

ok merci :jap: . En effet y avait aussi x = - ;)( a³/b ) mais dans ce cas x>0 doncje l'ai pas précisé mais je le marquerait dans ma copie :++:

En faite, j'ai bien appris la propiété qui m'a permis de prouver l'extremum local mais comment prouver que c'est un minimum et non un maximum ? avec le tableau de variation ?

[fatal_error]

avec le tableau de variation ?

Ui c'est ça.

[Khaize]

Oki merci beaucoup alors ^^ !! je vais terminer sa, les autres questions ne devraient pas poser de probleme. Bonne journée :++: