Dm sur le suites

[yanyan41]

Exercice : Le flocon de Von Koch

Le Flocon de Von Koch est une figure géométrique obtenue à partir d'un triangle équilatéral par réitération d'une transformation simple.
Description de la transformation: Le segment [AB] de longueur 1 est transformé en une ligne brisée de quatre segments de longueur 1/3 (voir sur les dessins)

Soit n appartient à N On va appeler F1 le triangle équilatéral initial de côté c1 = 1 et Fn le flocon de Van Koch obtenu à l'étape n. Pour ce flocon Fn, on notera
. mn le nombre de cotés qui le constitue.
. cn la longueur d'un côté (ils ont tous même longueur)
. Pn le périmètre de Fn .

. en le nombre de triangles équilatéraux que l'on ajoute à Fn-1 pour obtenir Fn
. dn l'aire d'un ce ces triangles équilatéraux.
.An l'aire de Fn
1) Calculer m1 ; p1 ; A1 ; c2 ; e2 ; d2 ; m2 ; p2 ; A2
2) Calcul du périmètre
a) Démontrer que (mn)n>=1 est une suite géométrique et calculer mn en fonction de n .
b) Démontrer que (cn)n>=1 est une suite géométrique et calculer cn en fonction de n.
c) Exprimer Pn en fonction de n. Avec votre calculatrice donner une valeur approchée à 1 près de PIO
3) Calcul de l'aire
a) Démontrer que (en)n>=2 est une suite géométrique et calculer en en fonction de n.
b) Démontrer que (dn)n>=2 est une suite géométrique et calculer dn en fonction de n.
c) Pour n >= 1, exprimer An+1-An en fonction de n. Quelle est la nature de la suite (An+1-An)n>=1
d) En calculant (An-An-1)+(An-1-An-2)+…+(A2-A1) de 2 façons différentes, exprimer Fn à l'aide de n pour tout n >= 2 . Avec votre calculatrice donner une valeur approchée à 0,01 près de F10
Voilà mon exercice,j'ai réussi à la première question,est ce que vous pourriez faire les calculs pour vérifier mes résultats car l'aire je trouve quelque chose de bizarre(aire d'un triangle équilatéral est bien a²*rac3/4 ?) mais dans les suivantes ce qui me pose problème est d'exprimer mn et en en fonction de n.Puis pour l'aire je n'y arrive pas je suis bloquée.
Pourriez vous m'aider ,merci d'avance.
[img][IMG]http://img402.imageshack.us/img402/6162/numriserql4.th.jpg[/img][/IMG]
[img][IMG]http://img411.imageshack.us/img411/7303/numriser0001hz7.th.jpg[/img][/IMG]

[Nanoch]

euh ,je suis désolé je n'avais pas vu que j'étais connecté sur le compte de mon frère donc en faite le message vient de moi (nanoch) et non pas de lui qui n'est qu'en 4°,encore désolé.

[Benjamin]

Salut,

Donc, pour un trianlge équilatérale, l'aire, c'est bien a²*sqrt(3)/4 pas de soucis.

Ensuite, pour exprimer mn et en en fonction de n, il faudra utiliser le fait que ce sont des suites géométriques. Il faut donc le prouver, ce qui ce fait en calculant mn+1/mn et en+1/en. Essaie donc tout d'abord d'exprimer mn+1 et fonction de mn et en+1 en fonction de en.
A plus,

[Nanoch]

ok d'accord merci je vais essayer tout ça.

[Nanoch]

bon alors,je comprend plus l'aire d'un triangle équilatéral c'est quoi ? a²*rac3/4 ou a²*rac3/2 ?

[Benjamin]

C'est sur 4, j'ai oublié de diviser par 2 la première fois. Base*hauteur/2 donc (a*(a*rac(3)/2))/2 = a²rac(3)/4.
A plus,

[Nanoch]

ok,j'ai essayé d'exprimer cn+1 en fonction de cn ça fait : cn+1=1/3cn mais après ça m'avance pas pour le mettre en fonction de n

[Nanoch]

ça me donne un truc avec des puissances de n ou n+1 mais il le faut pas en puissance je pense.

[Benjamin]

Si si, ca t'aide.

On sait qu'une suite géométrique un est telle que un=u0*q^n, où q est la raison de la suite.
Par ailleurs, tu as démontré que cn+1/cn=1/3.

Calcule un+1/un de la suite un que j'ai donné. Que constates-tu ?

[Nanoch]

ba il reste q

[Benjamin]

Oui, et bien n'as-tu pas aussi démontré que pour tout n, cn+1/cn était égale à une constante q ? Que peux-tu conjecturer de la valeur de cn ?

[Nanoch]

ba Cn=qpuissn

[Benjamin]

Oui, car c0=1.
Si pour toi ce n'est pas un résultat de cours que de dire :
"si une suite (cn)n vérifie cn+1/cn=q pour tout n alors cn=c0*q^n"
il faut que tu le démontres par récurrence.

[Nanoch]

si je l'ai démontrer en cour mais pour l'exprimer en fonction de n je met juste Cn=1/3puissn ?

[Benjamin]

oui esxactement
Et tu fais pareil pour les autres suites. Par contre, je n'ai pas vérifié si ton calcul était juste. Je vais le faire, à tout'

[Benjamin]

En fait, j'avais pas fait gaffe, mais la suite part de 1 et non pas de 0, donc ce n'est pas puissance n, mais puissance n-1. Mais bon, sur le principe, ca change rien. Le théorème exacte que j'énoncais tout à l'heure est :
"si (un)n>=p est telle que un+1/un=q pour ton n>=p, alors un=Cp*q^(n-p) pour tout n>=p"

Sinon, c'est bien ça, cn+1/cn=1/3, tu as tout bon :)
Faut juste faire gaffe à l'origine qui ici est en 1.
A plus,

[Nanoch]

bon alors je comprend mais si je fais cn+1/cn je ne vais pas pouvoir simplifier avec les 1/3puissn-1 ? donc je trouverai pas 1/3

[Benjamin]

Bon, je prends calmement.

Tu as une suite (Un)n, mais son ensemble de définition n'est pas N, mais [p;+00[, en ne considérant que les entiers.

Cette suite sera géométrique, si et seulement si, Un+1/Un=q pour tout n>=p.
q est la raison de cette suite.
Dans ce cas, Un est exprimée par :
Un=Up*q^(n-p) pour tout n supérieur ou égal à p

Up est la valeur de ta suite pour n=p, c'est le commencement, du fait du domaine de définition.

Ici, p=1, tu commences avec un triangle, et non pas 0.
Donc, Cn=C1*q^(n-1)

C'est bon ?

[Benjamin]

bon alors je comprend mais si je fais cn+1/cn je ne vais pas pouvoir simplifier avec les 1/3puissn-1 ? donc je trouverai pas 1/3

Si tu trouveras encore 1/3. Regarde
Cn+1=1/3^n et Cn=1/3^(n-1) donc Cn+1/Cn=1/3^(n-(n-1)) puisque a^m/a^n=a^(m-n), tu retrouves alors Cn+1/Cn=...

[Nanoch]

oui,ok j'ai compris pas de problème,donc si je fais cn+1/cn ça fait en faite : 1/3cn/cn donc ça se simplifie et on trouve 1/3.Là c'est réglé j'ai prouvé qu'elle était géométrique.Mais ensuite il nous demande de calculer cn en fonction de n et le problème c'est comme on l'a dit que ça commencé à 1 donc Cn=1/3n-1 et c'est là le truc qui cloche c'est qu'il le veut en fonction de n ,tu crois que ça marche même si ya n-1 et pas n ?