Exercice sur les intégrations par parties de terminal S

[sweet87140]

Bonjour, je suis coincé sur un exercice concernant notamment les integrations par parties.
Voici l'énoncé :
On se propose de déterminer des valeurs approchées de l'integrale
I= integrale de 0 à 1/2 de (10t²/(1+t²))dt en utilisant deux méthodes disctinctes.
Les parties A et B sont largement indépendantes l'une de l'autre.

Partie A : Utilisation d'une intégration par parties

1 En remarquant que (10t²/(1+t²))= 5t*(2t/(1+t²)), établir l'égalité :
I= 5/2*ln(5/4) - 5*integrale de 0 à 1/2 de ln(1+t²)dt.

2 On pose pour x positif ou nul:
f(x)=ln(1+x)-x+x²/2 et g(x)=ln(1+x)-x

a) En utilisant les variations de f, démontrer que f(x)> ou = à 0.
En procédant de la même façon, on pourrait établir que g(x)< ou = à 0, inégalité que l'on admettra ici.

b) A l'aide de ce qui précède, montrer que l'encadrement :
t²-t^4)/2 < ou = à ln(1+t²) < ou = à t²
est vrai pour tout réel t.

c) Déduire de la question précédente que:
-5/24 < ou = à -5*integrale de 0 à 1/2 de ln(1+t²)dt < ou = à -37/192

3 En utlisant les questions précédentes, donner un encadrement d'amplitude inférieure à 0.02 de I par des nombre décimaux ayant 3 chiffres après la virgule.

Voici la partie A et je suis arrivé à la question 2c), et je suis bloqué à cette question, donc si quelqu'un pouvait me donner des pistes ce serait gentil. Je ne demande pas que l'on me fasse la question, simplement des pistes pour pouvoir avancer par moi-même.
Merci d'avance.

[fatal_error]

Salut,

Voici la premiere piste:

(multiplication de la question précédente par -5. On se rapproche de

[sweet87140]

Merci pour cette 1ere piste. J'ai suivi vos indications mais je n'arrive pas à aller plus loin, je ne vois pas le rapport avec l'intégrale que l'on cherche. C'est à ce moment-là que l'on utilise une intégration par parties??

Encore merci d'avance.

[Jess19]

Comme te l'a dit fatal_error tu multiplies tout par -5 car dans ton énoncé on te demande d'arriver à -5 intégrale de ...

ensuite avec cet encadrement tu passes tout bêtement aux intégrales puisque l'intégrale converserve l'ordre donc tu te retrouves avec

intégrale de 0 à 0.5 -5t² dt <= -5 intégrale de ..... <= intégrale de 0 à 0.5 -5(t² -t^4)/2 dt

tu trouves facilement la primitive de t² et de 1/2(t² - t^4) et tu calcules tout bêtement ces intégrales et si tes calculs sont bons tu dois trouver
intégrale de 0 à 0.5 -5t² dt =-5/24
intégrale de 0 à 0.5 -5(t² -t^4)/2 dt =-37/192

voilà j'espère que j'ai été clair!

[sweet87140]

Oui c'est bon merci Jess19 pour ces précisions !!! Je vais continuer cet exercice et voir si j'arrive à la fin de la partie B, encore merci !!

[Jess19]

Avec plaisir !

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