Algèbre bilinéaire

[roroboy]

Bonjour,

J’ai un exercice d’algèbre bilinéaire pour lequel je ne sais pas quoi utiliser :

On a E un R-espace vectoriel de dim finie n>0
f un endomorphisme de E avec f^2 = idE
B : E x E --> R une forme bilinéaire non dégénérée

Je dois montrer l’équivalence des deux propositions suivantes :
(1) Ker ( f – idE )et Ker (f+idE ) sont B-orthogonaux
(2) F est auto adjoint relativement à B

J’ai entendu dire qu’il faut utiliser le polynôme minimal et la décomposition des noyaux, mais je ne voit pas comment…. D’autant plus que l’on vient tout juste de commencer l’algèbre bilinéaire en cours.

Merci d’avance.

[Toadstool]

Bonjour,

Je dois montrer l’équivalence des deux propositions suivantes :
(1) Ker ( f – idE )et Ker (f+idE ) sont B-orthogonaux
(2) F est auto adjoint relativement à B

J’ai entendu dire qu’il faut utiliser le polynôme minimal et la décomposition des noyaux, mais je ne voit pas comment…. D’autant plus que l’on vient tout juste de commencer l’algèbre bilinéaire en cours.

Bon pour (2) => (1), une solution pourrait etre de prendre x dans Ker(f - IdE), y dans Ker(f + IdE) et on montre que B(x|y) = 0 en partant de B(f(x) - x | y) et B(x | f(y) + y).

Pour l'autre sens de l'equivalence, j'y ai pas encore reflechi.

Bon courage !

[Nightmare]

Bonsoir,

une solution donnée ici