Darko a écrit:Les trois coté du triangles sont trois vecteurs du plan repérés par leurs coordonnées (x,y).
Tu connais le premier vecteur.
Il faut donc déterminer les 4 coordonnées restantes.
Comme informations tu as: la somme des normes des vecteurs = périmètre
et 1/2*déterminant de 2 vecteurs du triangle = S.
Ca fais 4 équations, et 4 inconnues!
J'espère que je ne me suis pas trompé!
ffpower a écrit:ben une fois que ta la longueur des cotés,c pas compliqué.
fatal_error a écrit:Salut,
Bon, j'ai pas reussi a trouver mais je pense avoir une piste.
Je suppose qu'on a droit a la division...
Pour la surface:
On trace le segment de longueur connue (a).
Ensuite, on trace un segment perpendiculaire a ce segment passant par un de ses cotés, de longueur h, tel que ah=2S.
Apres on trace une parallele au premier segment passant par le bord de notre perpendiculaire (genre pour faire un rectangle).
Le dernier point se situe sur cette parallele Aire triangle=a*h/2=S
Pour le demi perimetre:
On trace la parallele a notre coté de longueur a et passant par le milieu de celui de longueur h.
On peut prendre le milieu du coté de longueur h, pareil pour celui de longueur a, et les joindre. On obtient un triangle semblable de rapport 1/2. La somme des cotés fera donc p.
Apres il faudrait a trouver le dernier point C, en le faisant 'coulisser' sur la parallele de telle que sorte que les distance tombent bien, mais je vois pas :hein:
En espérant etre utile... :marteau:
JJa a écrit:Bonjour jver,
l'énoncé de ta question est incomplet. En effet, il est indispensable de préciser sous quelle forme l'aire S est donnée. Par exemple si l'on dit que l'aire S est celle d'un cercle donné, la construction est impossible à la règle et au compas. Elle est possible dans d'autres cas. La possibilité de construire dépend de la façon dont l'énoncé précise exactement comment l'aire S est donnée au départ.
Supposons que cette donnée soit bien précisée et que, par suite, l'on puisse construire un segment de longueur h=S/2a
Je ne peut pas décrire la construction de ce segment puisque je ne sais pas comment l'aire S est donnée. Supposons donc que le segment h soit construit (ce n'est pas la partie difficile du problème en général).
On va d'abord tracer une figure auxiliaire :
- Construire le triangle rectangle EFG (rectangle en G) dont l'hypoténuse EF est de longueur (2p-a) et dont le coté EG est de longueur a.
- Sur le coté GF, placer le point I tel que GI = h
- Tacer la droite parallèle à EF passant par I. Elle coupe la droite EG au point J.
- Tacer le cercle de centre J et de rayon = (a/2). Ce cercle coupe la droite GF en deux points. Désignons par K celui des deux qui se trouve du même coté que F par rapport à G (autrement dit, K est sur la demi-droite GF)
- Sur la demi-droite GF, traçons le point P tel que GP = p-(a/2)
Résultat : la longeur du segment KP est égale à la longueur (b) d'un des cotés du triangle ABC que l'on cherche à construire.
Figure principale, construction du triangle ABC :
- Tracer AB de longueur =a
- Tracer la droite (D) parralèle à AB avec la distance h entre elles.
- tracer le cercle de centre A et de rayon = KP (prouvé par la construction précédente. Ce cercle coupe (D) en deux points C1 et C2. Comparer avec (2p) les longueurs (AB+AC1+BC1) et (AB+AC2+BC2). Le point C est celui des deux qui donne l'égalité à (2p).
Remarque : si l'une des constructions indiquées s'avère impossible, c'est que les données (a, p, S) n'ont pas la cohérence requise pour qu'il existe un triangle ABC répondant aux conditions imposées.
emdro a écrit:Bonsoir,
Je n'ai pas tout lu, mais d'après la formule de Héron,
Et donc, en l'adaptant à votre problème:
D'où
Or .
Cela peut être une piste, non?
JJa a écrit:Oui , bien sûr, il y a souvent différentes méthodes pour ce genre de constructions géométriques.
Celle que j'ai indiquée est la traduction géométrique de la relation analytique :
(p-(a/2)-b)² = (a/2)² - a²h²/(4p(p-a))
On voit que tous les paramètres sont connus, sauf b dans le membre de gauche. Cela permet de construire b.
Dans le triangle EFG, on trouve GF²=(2p-a)²-a²=4p(p-a)
Puis dans le triangle semblable JIG on trouve GI²=a²h²/(4p(p-a))
Dans le triangle JGK on trouve GK²=(a/2)² - a²h²/(4p(p-a))
Donc GK=p-(a/2)-b
Et avec GP=p-(a/2) on a la différence : KP=b.
Note : La relation analytique utilisée s'établit aisément par la méthode suivante :
Dans un triangle ABC avec AB=a, AC=b et BC=c, La projection orthogonale de C sur AB étant H, en posant AH=x et BH=y, on a le système d'équations :
2p=a+b+c
x+y=a
h²=b²-x²
h²=c²-y².
On élimine les paramètres x, y et c de ces équations, ce qui donne la relation analytique.
JJa a écrit:Il ne faut pas tout confondre !
- Une chose est la construction à la règle et au compas dont on donne toutes les étapes permettant de la réaliser.
- Une autre chose est la preuve que la construction est exacte. Cette preuve peut être faitre par n'importe quelle méthode, géométrique ou analytique, avec des formules ou sans formule, en faisant appel à des théorèmes connus, etc., peu importe : cela ne fait pas partie de ce qu'on appelle "la construction à la règle et au compas". Ce n'est pas avec la règle et le compas que l'on fait et que l'on rédige la démonstration !
Résumons nous :
- Un problème de construction à la règle et au compas a été posé.
- Une réponse a été donnée dans le post #7 du 13/04 à 12h03. Elle satisfait plainement à la question posée.
- Peut importe la façon dont la preuve d'exactitude a été expliquée ultérieurement : il y a toujours plusieurs méthodes possibles pour les démonstrations. Cela n'a rien à voir avec l'intérêt, ou non, de la construction à la règle et au compas.
Personnellement, je n'ai aucune préférence pour cette construction ou pour une autre. Il y a probablement d'autres constructions plus simples : Généralement on trouve plus simple en cherchant plus.
La préférence d'une construction par rapport à une autre est une question personnelle, selon des critères qui ne sont pas les mêmes selon les personnes. Donc, je ne milite pas pour que cette construction soit préférée à une autre : c'est indiférent.
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