Titre non conforme - Attention !!

[fluidistic]

Voici le problème : Déterminez le pas h et le minimum de nœuds équidistants requis pour approximer la fonction f(x)=x^(1/2) et avoir une précision de 7 décimales. L'intervalle d'interpolation est [1,2].
On parle bien sûr d'interpolation polynomiale du type de Newton ou de Lagrange.
Comme h=1/n, si n est le nombre de nœuds, il ne reste plus qu'à trouver n.
On peut poser f(x)-P(x)<0,0000001 et résoudre l'inéquation. Or, f(x)-P(x)=f^(n+1)(Zêta de x) multiplié par le produit de i=0 jusqu'à n de (x-x_i), le tout divisé par (n+1)! C'est la formule de l'erreur de l'interpolation polynomiale.
Après pas mal d'efforts, j'ai trouvé une expression qui représente la dérivée n+1ième de la fonction racine de x. Remplacée dans la formule de l'erreur de l'interpolation polynomiale, ça m'a donné.... : (-1)^(n+1)(zêta de x)^(1/2-n-1)multiplié par le produit de i=0 jusqu'à n+1 de (2i+1) multiplié par le produit de i=0 jusqu'à n de (zêta de x moins (1+i/n)), le tout divisé par 2^(n+1).
Il faut trouver pour quelles valeur minimale de n cette dernière expression est inférieure à 0,0000001. Je crois qu'on peut remplacer zêta de x par 2, puisque la fonction racine carré de x est croissante, la valeur de f(x) sera la plus grande quand x=2. Donc j'imagine que l'erreur aussi... Mais enfin, même en remplaçant zêta de x par 2, malgré une petite simplification de l'expression, je n'ai aucune idée de comment résoudre l'inéquation! Toute aide utile sera grandement remerciée!!! :fan:

[busard_des_roseaux]

bjr,

il y a un méthode bovine:
majorer par 1.

sinon pour une majoration plus fine, utiliser l'approximation de Stirling de n!