Produits scalaire

par **lola35** » 13 Avr 2008, 16:39

bonjour,

On considère 3 points A B C d'un plan orienté distincts deux à deux. On appelle H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) et alpha une mesure de l'angle orienté (AB,AC).

On suppose que le point C n'appartient pas à la droite (AB) et que les droites (AC) et (AB) ne sont pas perpendiculaires
Démontrer que :
si H appartient [AB), alors AB x AC x cos alpha = AB x AH
si H n'appartient pas [AB), alors AB x AC X cos alpha = -AB x AH

Démontrer que si le point C appartient à la droite (AB), alors les propriétés précedentes sont vraies!
Sont -elles encor vraies si les droites (AC) et (AB) sont perpendiculaires.

j'aimerais vraiment que vous m'apportiez votre aide, je ne sais pas comment commencer!!

merci d'avance!

par **Dr Neurone** » 13 Avr 2008, 17:21

Bonjour Lola35,

Si H appartient [AB),
AH = AC cos alpha
Donc AB x AC x cos alpha = AB x AH
Et si H n'appartient pas [AB), alpha est compris entre Pi/2 et Pi donc cos alpha <0 donc AB x AC x cos alpha = - AB x AH
Lorsque C appartient à (AB) , le cosinus sera +1 dans le 1er cas et -1 dans le 2ème C et H seront confondus.
Si (AC) et (AB) sont perpendiculaires, le cosinus est nul , la relation n'est pas vérifiée , A étant distinct de B .

par **lola35** » 13 Avr 2008, 17:32

je voulais savoir si la relation AH = AC x cos alpha est toujours exacte quelque soit la position de H et de C pour les trois démonstrations??

merci !

par **Dr Neurone** » 13 Avr 2008, 17:46

Dans le 2ème cas
AH = AC cos(Pi - alpha) = -AC cos alpha donc AC cos alpha = -AH

La relation est fausse si AB perpendiculaire à AC

par **lola35** » 13 Avr 2008, 17:56

si AH = AC x cos (pi-alpha) pour H n'appartenant pas à [AB)
dans ce cas la cos ( pi-alpha) sera positif et on aura pas -AB x AH?

Il doit y avoir un truc que je ne comprend pas!

par **Dr Neurone** » 13 Avr 2008, 18:01

Dans le 1er cas AH = AC cos alpha et dans l'autre AH = AC cos(Pi - alpha) = -AC cos alpha

Quant à la 3ème , autant pour moi , si AB perpendiculaire à AC ,A et H sont confondus donc çà reste vrai !

par **lola35** » 13 Avr 2008, 18:05

pourquoi dans le deuxieme cas lorsque H n'appartient pas à [AB) on obtient alors AB x AC x cos alpha = -ABx AH

Si AH = AC x cos (pi-alpha)
jee comprend pas comment on arrive à cette relation?

désolé d'être aussi ******

merci

par **Dr Neurone** » 13 Avr 2008, 18:10

lorsque H n'appartient pas à [AB) , il appartient à l'autre demi droite ; alpha devient compris entre pi/2 et pi , fais un petit dessin. Et regarde te triangle ACH .

par **lola35** » 13 Avr 2008, 18:16

des dessins j'en ai fait beaucoup!! lol
AC x cos alpha est <0
donc AB x AC x cos alpha est <0
mais je ne comprend pas pourquoi on obtient AH??

par **Dr Neurone** » 13 Avr 2008, 18:22

Non; dessine un joli triangle ABC avec A obtus ; le point H projeté de C sur AB est sur la demi droite du coté de A et dans le triangle ACH , AH = AC cos (Pi - alpha) = -AC cos alpha.
J'ai souvent des difficultés pour etre clair , ce forum est une bonne thérapie pour palier à cette difficulté , je trouve.

par **lola35** » 13 Avr 2008, 18:28

en fait il faut simplement utiliser le cercle trigonométrique avec la formule cos (pi-x)=-cos x??

par **Dr Neurone** » 13 Avr 2008, 18:30

Absolument.
J'ai souvent des difficultés pour etre clair , ce forum est une bonne thérapie pour palier à ce problème , je trouve.

par **lola35** » 13 Avr 2008, 18:40

merci beaucoup en tout cas!!!
mais je ne vois pas comment rédiger:

AB x AC x cos alpha= -AB x AH
il aurait fallut écrire AB x AC x cos (pi-alpha) pour à la fin obtenir AH non??

par **Dr Neurone** » 13 Avr 2008, 18:42

Effectivement.

La relation reste vraie pour AB et AC perpendiculaire , car A = H
et cos alpha = 0

par **lola35** » 13 Avr 2008, 18:46

bah oui mais comment justifier alors que AB x AC x cos alpha =-AB x AH

lorsque H n'appartient pas à [AB) il y a un probleme!! puisque dans ce cas la AC x cos alpha n'est pas égal à AH!

par **Dr Neurone** » 13 Avr 2008, 18:48

Il se trouve que H appartiendra toujours à (AB) , quoiqu'il advienne.

par **lola35** » 13 Avr 2008, 18:51

j'avoue il y a quelque chose que jen e comprend pas mais quoi?? je dois faire un blocage!!

même si H appartient toujours à (AB) je suis d'accord mais je n'arrive pas à démontrer cette relation dans le deuxieme cas!!

par **Dr Neurone** » 13 Avr 2008, 18:55

Trouve le cosinus de l'angle CAH .

par **lola35** » 13 Avr 2008, 18:59

cos CAH = AH/CH non??

par **Dr Neurone** » 13 Avr 2008, 19:04

oui , et CAH = pi - alpha donc cos CAH = -cos alpha ,ou est le soucis ?

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